ضمیمه الف: فهرستی از توزیع‌های پیوسته (مدل‌های زیان : از داده تا تصمیم)

مقدمه

توضیحات مدل‌ها از بخش بعدی شروع می شود. ابتدا، چند مقدمه ریاضی ارائه می‌شود که نشان می‌دهد چگونه می‌توان کمیت‌های مختلف را محاسبه کرد. تابع گامای ناقص¹ توسط رابطه زیر تعریف می‌شود.

$$
\begin{align}
\Gamma(\alpha;x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^x t^{\alpha-1}e^{-t}dt, & alpha>0, x>0,
\end{align}
$$

با:

$$
\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dt, \alpha>0.
$$

$\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)$ یک رابطه مفید است. همچنین ما

$$
G(\alpha;x)=\int_x^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dt, x>0.
$$

زمانی که ما این انتگرال را برای مقادیر نامثبت $\alpha$ نیاز داریم تعریف می‌نماییم. از انتگرال جزء به جزء رابطه زیر نتیجه می‌شود:

$G(\alpha;x)= -\frac{x^\alpha e^{-x}}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}G(\alpha+1;x).$

این پروسه تا زمانی که اولین آرگومان $G$ ،$\alpha+k$ عدد مثبتی باشد. پس می توان از رابطه زیر بدست آید:

$$
G(\alpha+k;x)=\Gamma(\alpha+k)[1-\Gamma(\alpha+k;x)].
$$

با این وجود، وقتی $\alpha$ یک عدد صحیح منفی یا صفر باشد، مقدار $G(0;x)$ مورد نیاز می‌باشد و عبارت است از:

$$
G(0;x)=\int_x^{\infty} t^-1 e^-t dt=E_1(x),
$$

که انتگرال نمایی نامیده می‌شود. بسط سری برای این انتگرال عبارت است از:

$$𝐸_1(𝑥)= -0.57721566490153 – ln 𝑥 – \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n x^n}{n(n!)}.

$$

وقتی $\alpha$ یک عدد صحیح مثبت است، تابع گامای ناقص با قضیه زیر دقیقاً مشخص می‌شود:

قضیه الف.1 برای یک $\alpha$ صحیح:

$$
\Gamma(\alpha;x)=1-\sum_{j=0}^{\alpha-1} \frac{x^j e^-x}{j!}
$$

اثبات: برای $\alpha=1$، $\Gamma(1;x)=\int_0^x e^-t dt =1-e^-x$، و بنابراین قضیه در این مورد صحیح می‌باشد. اثبات با استقرا تکمیل می‌شود. فرض کنید برای $\alpha=1,\dots ,n$ صحیح باشد. بنابراین،

$$
\begin{align}
\Gamma(n+1;x)&=\frac{1}{n!}\int_{0}^x t^n e^{-t}\\
&=\frac{1}{n!} \left(-t^n e^{-x}|0^x+\int_0^x nt^{n-1}dt \right)\\
&=\frac{1}{n!}(-x^n e^{-x})+\Gamma(n;x)\\
&=-\frac{x^n e^{-x}}{n!}+1-\sum_{j=0}^{n-1} \frac{x^j e^{-x}}{j!}\\
&=1-\sum_{j=0}^{n} \frac{x^j e^{-x}}{j!}.\\
\end{align}
$$

تابع بتای ناقص عبارت است از:

$$
\beta(a,b;x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt, a>0,b>0,0<x<1
$$

که

$$
\beta(a,b)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}
$$

تابع بتا می‌باشد و وقتی $b<0$ (اما $a>1+\lfloor-b\rfloor$) از تکرار انتگرال جزء به جزء رابطه زیر بدست می‌آید:

$$
\begin{align}
\Gamma(a)\Gamma(b)\beta(a,b;x) & =-\Gamma(a+b)[\frac{x^{a-1}(1-x)^b}{b}\\
& +\frac{(a-1)x^{a-2}(1-x)^{b+1}}{b(b+1)}\\
&+\frac{(a-1)\dots (a-r)x^{a-r-1}(1-x)^{b+1}}{b(b+1)\dots (b+r)}]\\
&+\frac{(a-1)\dots(a-r-1)}{b(b+1)\dots(b+r)}\Gamma(a-r-1)\\
&\times \Gamma(b+r+1)\beta(a-r-1,b+r+1;x),
\end{align}
$$

که در آن $𝑟$ کوچکترین عدد صحیح است به طوری که $𝑏 + 𝑟 + 1 > 0$. آرگومان اول باید مثبت باشد (یعنی $a-r-1>0$).

تقریب های عددی برای هر دو تابع گامای ناقص و بتای ناقص در بسیاری از بسته‌های محاسباتی آماری و همچنین در بسیاری از صفحات گسترده موجود است، زیرا آنها فقط توابع توزیع، توزیع های گاما و بتا هستند. تقریب‌های زیر از [2] گرفته شده‌اند. پیشنهاد در مورد استفاده از فرمول‌های مختلف برای $x$ کوچک و بزرگ هنگام ارزیابی تابع گامای ناقص از [103] است. آن مرجع همچنین شامل زیربرنامه‌های کامپیوتری برای ارزیابی این عبارات است. به ویژه، روشی مؤثر برای ارزیابی کسرهای ادامه دار ارائه می‌دهد.

برای $x\le\alpha+1$، از بسط سری

$$
\Gamma(\alpha;x)=\frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\alpha(\alpha+1)\dots (\alpha+n)}
$$

استفاده کنید و برای $x>\alpha+1$، از بسط کسرهای دنباله‌دار استفاده نمایید

$$
\begin{align}
1-\Gamma(\alpha;x)=\frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}
\frac{1}{x+
\frac{1-\alpha}{1+
\frac{1}{x+
\frac{2-\alpha}{1+
\frac{2}{x+\dots}

}
}
}
}
\end{align}
$$

1. برخی از مراجع، مانند [2]، این انتگرال را با $P(\alpha ,x)$ نمایش می‌دهند و $\Gamma(\alpha,x)=\int_x^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} dt$ را تعریف کنید. توجه داشته باشید که این تعریف با تقسیم بر $\Gamma(\alpha)$ نرمال سازی نمی‌شود. هنگام استفاده از نرم افزار برای ارزیابی عملکرد گامای ناقص، حتماً به نحوه تعریف آن توجه کنید. ↩︎