مفاهیم محوری در این کتاب، «اندازه لبگ» (Lebesgue measure) و «انتگرال لبگ» (Lebesgue integral) هستند. جایگاه این مفاهیم به عنوان بخشی استاندارد و تثبیت‌شده در دوره‌های ریاضیات مقطع کارشناسی در بریتانیا کاملاً تضمین‌شده نیست؛ با این حال، این دو مفهوم، مدل اصلی را برای توسعه‌ی «فضاهای اندازه‌ی مجرد» (abstract measure spaces) فراهم می‌کنند که زیربنای نظریه احتمال مدرن را تشکیل می‌دهند. در عین حال، «فضاهای تابعی لبگ» (Lebesgue function spaces) منبع اصلی مثال‌هایی باقی مانده‌اند که روش‌های «آنالیز تابعی» (functional analysis) و کاربردهای فراوان آن، مانند «آنالیز فوریه» (Fourier analysis) و نظریه «معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی» (partial differential equations)، بر روی آن‌ها آزموده می‌شوند.
از این رو، نه تنها تحلیل‌گران نوظهور نیازمند درکی روشن از ساختار و ویژگی‌های اندازه‌ها و انتگرال‌ها هستند، بلکه کسانی که می‌خواهند به طور جدی در کاربرد روش‌های تحلیلی در طیف گسترده‌ای از حوزه‌های ریاضیات، فیزیک، الکترونیک، مهندسی و اخیراً مالی مشارکت کنند، نیز باید نظریه‌ی زیربنایی آن را با دقت مطالعه نمایند.
ما در ادبیات کنونی، متون بسیار کمی یافته‌ایم که صراحتاً با هدف تأمین این نیازها و در سطحی قابل دسترس برای دانشجویان فعلی مقطع کارشناسی نوشته شده باشند. کتاب‌های خوب بسیاری در زمینه نظریه احتمال مدرن وجود دارد و این کتاب‌ها به طور فزاینده‌ای به نیاز وجود یک بنیان قوی از ابزارهایی که ما در این کتاب توسعه می‌دهیم، اذعان دارند؛ اما اغلب، رویکرد آن‌ها یا برای مخاطب کارشناسی بیش از حد پیشرفته است و یا تا حدی «سطحی و سرسری» (perfunctory) است. بنابراین، امیدواریم که این متن به عنوان کتابی تلقی نشود که یک خلأ بسیار ضروری در ادبیات را پر می‌کند!
یک تصمیم بنیادی در توسعه‌ی بحث انتگرال‌گیری این است که آیا باید با اندازه‌ها شروع کرد یا با انتگرال‌ها؛ یعنی آیا باید با مجموعه‌ها آغاز کرد یا با توابع. تحلیل‌گران تابعی تمایل به رویکرد دوم داشته‌اند، در حالی که رویکرد اول به وضوح برای توسعه‌ی نظریه احتمال ضروری است. ما تصمیم گرفته‌ایم در این بحث، جانب احتمال‌دانان را بگیریم و از توسعه‌ی (به‌نسبت) نظام‌مند مفاهیم و نتایج پایه‌ای در نظریه احتمال به عنوان حوزه‌ی اصلی کاربرد استفاده کنیم. ترتیب موضوعات و اصطلاحاتی که به کار می‌بریم، این انتخاب را منعکس می‌کند. هر فصل با توسعه‌ی بیشتر مفاهیم مرتبط در حوزه‌ی احتمال به پایان می‌رسد. گاهی ممکن است این رویکرد نسبت به گزینه‌ی جایگزین، کارایی کمتری داشته باشد، اما ما «اثبات‌های مستقیم» (direct proofs) و «ساختارهای صریح» (explicit constructions) را انتخاب کرده‌ایم، گاهی به قیمت از دست دادن ظرافت و زیبایی کلام. امیدواریم که این کار به افزایش درک مطلب کمک کند.
بحث اندازه و انتگرال‌گیری تا جایی که در محدودیت‌های فضا و زمان ممکن بود، به صورت «خودکفا» (self-contained) ارائه شده است: برخی بخش‌ها ممکن است برای دانشجویان سال آخر کارشناسی بیش از حد ساده و مقدماتی به نظر برسند، اما تجربه در آزمودن بخش زیادی از این مطالب طی چندین سال در دانشگاه هال به ما آموخته است که آشنایی و اطمینان خاطر این مخاطبان از مفاهیم پایه‌ای آنالیز، غالباً می‌تواند تا حدی متزلزل به نظر برسد. از این رو، بخش مقدمات شامل مروری بر «انتگرال‌گیری ریمان» (Riemann integration) و همچنین یادآوری برخی مفاهیم بنیادین «آنالیز حقیقی مقدماتی» (elementary real analysis) است.
اگرچه نظریه احتمال در اینجا به عنوان حوزه‌ی اصلی کاربرد اندازه و انتگرال انتخاب شده است، اما این کتاب، یک کتاب درسی در «احتمال مقدماتی» نیست که نمونه‌های بسیاری از آن در ادبیات یافت می‌شود.
هرچند این یک متن پیشرفته نیست، اما برای مطالعه‌ی عمیق (و نه مرور سطحی) طراحی شده و به گونه‌ای ساخته شده است که هم برای «خودآموزی هدایت‌شده» (directed self-study) و هم برای یک دوره‌ی درسی مبتنی بر سخنرانی مفید باشد. بنابراین، بخش قابل توجهی از نتایج که با عنوان «گزاره» (Proposition) مشخص شده‌اند، بلافاصله اثبات نمی‌شوند، بلکه به خواننده واگذار می‌شوند تا پیش از ادامه‌ی مطلب، برای اثبات آن‌ها تلاش کند (اغلب با راهنمایی درباره‌ی چگونگی شروع)، و همچنین تعداد زیادی تمرین در کتاب گنجانده شده است. برای کمک به خودآموزی، اثبات گزاره‌ها در پایان هر فصل و راه‌حل‌های کلی تمرین‌ها در انتهای کتاب آورده شده است. بنابراین، برای خواننده‌ی کوشا و سخت‌کوش، ابهام چندانی باقی نخواهد ماند.
پس از یک فصل مقدماتی که انگیزه‌ها و آمادگی برای تعاریف اصلی اندازه و انتگرال را فراهم می‌کند، فصل ۲ به ساختار دقیق «اندازه‌ی لبگ» و ویژگی‌های آن می‌پردازد و سپس به استخراج اصول موضوعه‌ای می‌پردازد که برای «فضاهای احتمال» (probability spaces) مناسب هستند. این الگو برای فصل‌های باقی‌مانده نیز ادامه می‌یابد، جایی که مفهوم «استقلال» (independence) به عنوان یک ویژگی متمایزکننده‌ی نظریه احتمال، در زمینه‌هایی هرچه عمومی‌تر دنبال می‌شود.
فصل ۳ انتگرال را برای «توابع اندازه‌پذیر نامنفی» (non-negative measurable functions) توسعه می‌دهد و «متغیرهای تصادفی» (random variables) و «توزیع‌های احتمال القایی» (induced probability distributions) آن‌ها را معرفی می‌کند. در حالی که فصل ۴ به «قضایای حد اصلی» (main limit theorems) برای انتگرال لبگ می‌پردازد و آن را با انتگرال‌گیری ریمان مقایسه می‌کند. کاربردهای آن در احتمال به بحثی درباره‌ی «امید ریاضی» (expectations)، با تمرکز بر «چگالی‌ها» (densities) و نقش «توابع مشخصه» (characteristic functions) منجر می‌شود.
در فصل ۵، انگیزه بیشتر از منظر آنالیز تابعی است: تمرکز بر «فضاهای تابعی لبگ» (Lebesgue function spaces) قرار دارد، که شامل بحثی درباره‌ی نقش ویژه‌ی فضای L² از «توابع مربع-انتگرال‌پذیر» (square-integrable functions) است. فصل ۶ شاهد بازگشتی به نظریه اندازه است، با توسعه‌ی دقیق «اندازه‌ی ضربی» (product measure) و «قضیه فوبینی» (Fubini’s theorem)، که این بار به نقش «توزیع‌های توأم» (joint distributions) و «شرطی‌سازی» (conditioning) در احتمال می‌انجامد. در نهایت، پس از بحثی درباره‌ی مدهای اصلی «همگرایی» (convergence) برای دنباله‌ای از توابع انتگرال‌پذیر، فصل ۷ به طور آشکاری سوگیری احتمالاتی به خود می‌گیرد و به قضایای حد اصلی می‌پردازد که با نسخه‌ی «لیندبرگ-فلر» (Lindeberg–Feller) از «قضیه حد مرکزی» (central limit theorem) به اوج خود می‌رسد.
این مباحث به هیچ وجه جامع و کامل نیستند، زیرا این یک کتاب درسی است، نه یک رساله. با این وجود، گستره‌ی موضوعات احتمالاً برای یک دوره‌ی یک نیم‌ساله در سطح سال سوم کمی بیش از حد وسیع است: پنج فصل اول می‌توانند یک دوره‌ی مفید برای چنین دانشجویانی فراهم کنند، و دو فصل آخر برای خودآموزی یا به عنوان بخشی از یک دوره‌ی پژوهشی برای دانشجویانی که مایل به ادامه تحصیل در نظریه احتمال هستند، باقی بماند. به طور جایگزین، دانشجویانی با آمادگی قوی‌تر در آنالیز می‌توانند دو فصل اول را به عنوان مطالب پیش‌زمینه استفاده کرده و باقی کتاب را در یک دوره‌ی یک نیم‌ساله به پایان برسانند.
مارک کاپینسکی
کراکوف، لهستان
اکهارد کوپ
هال، بریتانیا
مه ۱۹۹۸