امید به زندگی ناقص و امید به زندگی کامل
امید به زندگی در سن $x$ متوسط تعداد سال‌هایی است که شخص $x$ ساله به زندگی خود ادامه خواهد داد. دو فرد ۲۰ ساله را در نظر بگیرد. فرض کنید این افراد در سن‌های ۸۰ سالگی و ۹۰ سالگی فوت نمایند. بنابراین این افراد به ترتیب ۶۰ و ۷۰ سال به زندگی خود ادامه خواهند داد. این دو نفر بطور متوسط ۶۵ سال ($\frac{60+70}{2}=65$) امید به زندگی دارند. به عبارتی با توجه به این گروه دو نفره، امید به زندگی یک فرد ۲۰ ساله ۶۵ سال می‌باشد. حال می‌خواهیم با توجه به جدول زندگانی فرمولی برای محاسبه امید زندگی یک فرد $x$ بدست آوریم. در جدول زندگانی تعداد افراد $x$ ساله را با نماد $l_{x}$ نمایش می‌هند. بنابراین در آغاز سن $x$ سالگی $l_{x}$ فرد داریم. در ابتدای سن $x+1$ سالگی، $l_{x+1}$ نفر از $l_{x}$ زنده هستند. فرض می‌کنیم که کلیه فوت‌ها در ابتدای سال رخ می‌دهد. برای بدست آوردن متوسط تعداد سال‌هایی که نسل $x$ ساله زندگی می‌کنند را بدست آوریم ابتدا باید کل سال‌هایی که نسل زندگی می‌کنند را محاسبه نماییم. تا سن $x+1$ جمعاً ${۱} \times l_{x+1}$ سال زندگی می‌کنند و از سن $x+1$ تا $x+2$ جمعاً $۱ \times l_{x+2}$ سال زندگی می‌کنند و به همین ترتیب از سن $\omega -2$ تا $\omega-1$، $۱ \times l_{\omega-1 }$ سال زندگی می‌کنند.
با توجه به توضیحات بالا نسل $x$ ساله جمعاً ${l_{x+1}+l_{x+2}+\cdots +l_{\omega -1}}$ سال زندگی می‌کنند. متوسط ادامه حیات هر نفر از $l_{x}$ با نماد $e_x$ نشان داده می‌شود.:
$${\color{violet} {e_x}}=\frac{l_{x+1}+l_{x+2}+\cdots+l_{\omega -1}}{l_x}$$
عبارت فوق امید به زندگی ناقص (Curtate expectation of life) نامیده می‌شود زیرا فرض کردیم کلیه فوت‌ها در ابتدای سال رخ داده است. در عمل ممکن است چنین فرضی محقق نشود و افراد در سنین کامل فوت ننمایند. حال فرض کنید که فوت در طی سال بصورت یکنواخت باشد. از $l_{x}$ نفر $l_{x}-l_{x+1}$ طی سال بطور یکنواحت فوت خواهند کرد. افراد فوتی طبق فرض یکنواخت $\frac{l_{x}-l_{x+1}}{2}$ سال عمر خواهند کرد، بنابراین جمعاً (${۱}\times l_{x+1}+\frac{l_{x}-l_{x+1}}{2}$) سال در سال اول زندگانی داریم و به همین ترتیب (${۱} \times l_{x+2}+\frac{l_{x+1}-l_{x+2}}{2}$) سال در سال دوم و $\frac{l_{\omega -1}}{2}$ سال در سال $\omega-1$ الی $\omega$ در کل برای نسل $x$ سال
$$l_{x+1}+\frac{l_x-l_{x+1}}{2}+l_{x+2}+\frac{l_{x+1}-l_{x+2}}{2}+\cdots+\frac{l_{\omega -1}}{2}$$
$$=\frac{l_x}{2}+l_{x+1}+l_{x+2}+\cdots+l_{\omega-1}$$
اگر مجموع فوق را به تعداد $l_x$ تقسیم نماییم امید به زندگی کامل (Complete expectation of life) بدست می‌آید. امید به زندگی کامل در سن $x$ را با نماد ${\overset{\circ}{e}}_x$ نشان می‌دهند و داریم:
$${{\overset{\circ}{e}}_x}=\frac{1}{2}+\frac{l_{x+1}+l_{x+2}+\cdots+l_{\omega-1}}{l_{x}}$$
و همچنین:
$${\overset{\circ}{e}}_x=e_x+\frac{1}{2}$$