خلاصه
در این فصل مفهوم ارزش بیمه نامه را برای بیمه نامه عمر را معرفی میکنیم. ارزشهای بیمه نامه ابزاری اساسی در مدیریت ریسک بیمه هستند، زیرا برای تعیین سرمایه اقتصادی یا نظارتی مورد نیاز برای قادر بودن در پرداخت بدهیها و تعهدات و همچنین تعیین سود یا زیان شرکت در هر دوره زمانی استفاده میشوند.
ما با در نظر گرفتن موردی شروع می کنیم که در آن تمام جریانهای نقدی در شروع یا پایان یک سال رخ میدهد. ما ارزش بیمه نامه را به عنوان ارزش مورد انتظار جریانهای نقدی خالص آتی برای یک بیمه نامه در حال اجرا تعریف میکنیم و ارزشهای بیمه نامه حق بیمه ناخالص را که صراحتاً هزینه ها و حق بیمه ناخالص کامل را مجاز می کند، از ارزش های خالص بیمه نامه حق بیمه، که در آن هزینه ها از آن مستثنی می شوند، متمایز می کنیم. جریان های نقدی خروجی و فقط حق بیمه خالص به عنوان درآمد محاسبه می شود.
مقدمات
در دست تکمیل
ارزش بیمهنامه رویکرد گذشته نگر
ارزیابی گذشته نگر و آینده نگر
تعریف ما از ارزش بیمهنامه مبتنی بر متغیر تصادفی زیان آتی است. همانطور که در بخش “ارزش بیمهنامهها برای بیمههای دارای جریان نقدی سالانه” اشاره شد، آنچه ما ارزش بیمهنامه نامیدهایم توسط برخی از نویسندگان ارزش بیمهنامه آینده نگر نامیده میشود. از آنجایی که آینده نگر به معنای نگاه به آینده است، این نام دارای ارزشهایی است. ما همچنین ممکن است ارزش بیمه نامه گذشته نگر را در مدت زمان t تعریف کنیم، که به طور ساده، ارزش گذشته نگر عبارت است از ارزش انباشته حق بیمههای دریافتی گذشته، منهای ارزش بیمه گذشته، برای گروه بزرگی از بیمه نامههای یکسان، با این فرض که آنچه رخ داده دقیقاً از مفروضات موجود در اساس بیمه نامه پیروی میکند، تقسیم بر تعداد مورد انتظار بازماندگان میباشد. این دقیقاً محاسبهای است که در قسمت پایانی بخش “متغیر تصادفی زیان آتی” در رابطه با بیمهنامه مورد مطالعه در مثال 7.1 شرح داده شده است، به طوری که سمت چپ فرمول (7.3) فرمولی برای ارزش بیمهنامه گذشتهنگر (در مدت زمان 10) برای این بیمهنامه خاص است.
هدف اصلی از ارزش بیمه نامه تعیین ارزش بدهی برای بیمهنامههایی است که در حال اجرا هستند. یعنی ارزش بیمه نامه برای تعیین سرمایهای که بیمه گر باید نگه دارد استفاده میشود به طوری که همراه با حق بیمههای مورد انتظار آینده، بیمه گر دارایی کافی برای پاسخگویی به بدهیهای مورد انتظار آتی را داشته باشد. این وجه همان چیزی است که اکچوئرها ذخیره در زمان t برای بیمه نامه مینامند. از آنجایی که هدف ارزش بیمهنامه ارزیابی نیازهای آتی است، اتخاذ رویکرد آینده نگر طبیعی است.
ارزش بیمهنامه گذشتهنگر به شکل رسمیتری در زیر تعریف میشود. به طور ساده، ارزش تمام جریان های نقدی از زمان 0 تا زمان t را در زمان t اندازه گیری میکند که به ازای هر بیمه گذار باقیمانده بیان میشود. به سهم دارایی متصل است، که سهم انباشته هر بیمه نامه باقیمانده را به وجوه بیمه گر ردیابی میکند. تفاوت بین ارزش بیمهنامه گذشتهنگر و سهم دارایی در این است که طبق تعریف، سهم دارایی در زمان t از تجربه واقعی تا زمان t استفاده میکند. سهم دارایی در زمان t را نمیتوان تا زمان t محاسبه کرد. ارزش بیمهنامه گذشتهنگر میتواند از هر مبنایی استفاده کند و در هر زمانی قابل محاسبه باشد. اگر مبنای ارزش بیمهنامه گذشتهنگر دقیقاً با تجربه مطابقت داشته باشد، آنگاه برابر با سهم دارایی خواهد بود.
به طور شهودی، ما ارزش بیمهنامه آینده نگر را به عنوان معیاری از وجوه مورد نیاز در زمان t، و ارزش بیمهنامه گذشتهنگر را به عنوان معیاری از وجوه مورد انتظار در زمان t تفسیر میکنیم. ذخیره باید برای برآوردن الزامات طبیعی که داراییها باید برای پاسخگویی به بدهیهای آتی کافی باشد، آینده نگر باشد. در زمان t، همچنین، ما یک اندازه گیری دقیق از سهم دارایی در آن زمان داریم. مشخص نیست که چرا ذخیره گذشتهنگر ضروری است، و معمولاً در هیچ کشوری که از حق بیمه ناخالصِ ارزش بیمهنامه برای تنظیم ذخایر استفاده میکند، استفاده نمیشود.
با این حال، یک راه وجود دارد که در آن ارزش بیمهنامههای گذشتهنگر ممکن است مفید باشد، و آن از این واقعیت ناشی میشود که، در شرایط بسیار خاص، ارزشهای بیمهنامههای آیندهنگر و گذشتهنگر برابر هستند. یعنی، فرض کنید $_tV^R$ نشان دهنده ارزش بیمه نامه گذشته نگر$_tV^P$ نشان دهنده ارزش بیمه نامه آینده نگر یک بیمه نامه n ساله باشد. به طور کلی دو شرط وجود دارد که $_tV^R$ برابر با $_tV^P$ باشد، یعنی:
- حق بیمه قرارداد با استفاده از اصل هم ارزی مشخص میشود و
- همان مبنای برای $_tV^R$ ،$_tV^P$ و حق بیمه اصل هم ارزی استفاده میشود.
در حال حاضر، در اکثر موارد، این شرایط بسیار بعید است که برآورده شود. بیمهنامهها بسیار بلندمدت هستند و مبنایی که برای تعیین حق بیمهها استفاده میشود، بهطور مرتب بهروزرسانی میشود تا اطلاعات بهروز بیشتری درباره نرخهای بهره، هزینهها و مرگ و میر منعکس نماید. مفروضات ارزیابی ممکن است کاملاً با مبنای حق بیمه متفاوت باشد، زیرا اولی احتمالاً برای مدیریت ریسک توانایی پرداخت بدهی تنظیم شده است.
با این حال، یک حالت وجود دارد که شرایط ممکن است برآورده شود و برابری ارزشهای بیمهنامههای آیندهنگر و گذشتهنگر ممکن است مفید باشد. این مورد زمانی است که بیمه گر از ارزش خالص بیمه نامه برای تعیین ذخایر استفاده مینماید. از تعریف 7.2 به یاد بیاورید که تحت محاسبه حق بیمه خالصِ ارزش بیمهنامه، حق بیمه استفاده شده همیشه با استفاده از مبنای ارزش گذاری محاسبه می شود (صرف نظر از حق بیمه واقعی یا اصلی). از آنجایی که حق بیمه خالص با استفاده از اصل هم ارزی محاسبه میشود، حق بیمه خالصِ ارزش بیمه نامه گذشتهنگر و آیندهنگر یکسان خواهد بود. در صورتی که ساختار حق بیمه یا مزایا پیچیده باشد، این میتواند مفید باشد، به طوری که ممکن است گرفتن ارزش انباشته حق بیمههای گذشته کمتر از ارزش انباشته منافع، برای هر بیمه گزار باقیمانده (ارزش بیمه نامه گذشته نگر)، ساده تر از استفاده از ارزش بیمه نامه آیندهنگر باشد. شایان ذکر است که بسیاری از بیمه نامهها در ایالات متحده هنوز با استفاده از حق بیمه خالصِ ارزش بیمه نامهها، اغلب با استفاده از فرمول گذشتهنگر، ارزشگذاری میشوند. در تمام بازارهای بیمه توسعهیافته دیگر، تنظیمکنندهها به نوعی محاسبه ارزش ناخالص بیمه نامه نیاز دارند و در این کشورها رویکرد گذشتهنگر نامناسب خواهد بود.
تعریف حق بیمه خالصِ ارزش بیمهنامه گذشته نگر
بیمهای را در نظر بگیرید که در زمان $t = 0$ به $(x)$ فروخته شده با مدت $n$ (که ممکن است برای یک قرارداد تمام عمر $\infty$ باشد). برای بیمه نامهای که در زمان $t$ لازمالاجرا است، فرض کنید $L_t$ نشاندهنده ارزش فعلی در زمان $t$ همه مزایای آتی منهای حق بیمههای خالص، تحت شرایط قرارداد باشد. مقدار بیمه نامه آینده نگر، $_tV^P$، برای بیمه نامههای در حال اجرا در زمان $t < n$ بصورت زیر تعریف میشود:
$$
_tV^P = E\left[L_t\right]
$$
اگر $(x)$ تا زمان $t$ زنده نماند، $L_t$ تعریف نشده است.
ارزش در زمان صدورِ همه مزایای آتی منهای حق بیمه قابل پرداخت از زمان $t < n$ به بعد، متغیر تصادفی است.
$$
I(T_x>t) v^t L_t
$$
که در آن $I$ متغیر تصادفی مشخصه است.
علاوه بر این، $L_{0,t}$ را برای $t\le n$ به صورت زیر تعریف می کنیم:
$$
L_{0,t}=
$$
ارزش حال در زمان صدور مزایای آتی قابل پرداخت تا زمان t
-ارزش حال در زمان صدور، حق بیمههای آتی قابل پرداخت تا زمان t
اگر حق بیمه و مزایا در فواصل زمانی مجزا پرداخت شود و $t$ تاریخ پرداخت حق بیمه یا مزایا باشد، قرارداد این است که $L_{0,t}$ شامل مزایای قابل پرداخت در زمان t می شود، اما نه حق بیمه. در صدور (زمان 0) متغییر تصادفی زیان در زمان صدور، $L_0$، شامل ارزش مزایا منهای حق بیمه تا زمان $t$، $L_{0,t}$ به اضافه ارزش منافع منهای حق بیمه قابل پرداخت پس از زمان $t$ است، یعنی
$$
L_0=L_{0,t}+I(T_x>t) v^t L_t.
$$
ما اکنون ارزش بیمهنامهی حق بیمه خالص گذشته نگر را به صورت زیرتعریف می کنیم:
$$
_tV^R = \frac{-E\left[L_{0,t}\right](1+i)^t}{_tp_x}
\frac{-E\left[L_{0,t}\right]}{_tE_x}
$$
و این فرمول با محاسبه در بخش 7.2 برای بیمه نامه از مثال 7.1 مطابقت دارد. عبارت $-E\left[L_{0,t}\right](1+i)^t$ مقدار مورد انتظار حق بیمه کسراز مزایای در اولین $t$ سال است که در زمان $t$ انباشته شده است. تقسیم بر $_tp_x$ ، انباشت مورد انتظار به ازای هر بیمهگزار باقیمانده مورد انتظار را بیان میکند.
شرایط ذکر شده برای برابری مقادیر گذشته نگر و آینده نگر را به خاطر بیاورید:
- حق بیمه با استفاده از اصل هم ارزی محاسبه می شود و
- از همین مبنا برای ارزش بیمه نامههای آینده نگر، ارزش بیمه نامههای گذشته نگر و حق بیمه اصل هم ارزی استفاده می شود.
بر اساس اصل هم ارزی،
$$
\begin{aligned}
E[L_0]=E[L_{0,t}+I(T_x>t) \nu^t L_t]=0 \\
&\Rightarrow -E[L_{0,t}]=E[I(T_x>t) \nu^t L_t] \\
&\Rightarrow -E[L_{0,t}]=_tp_x \nu^t _tV^P \\
&\Rightarrow _tV^R=_tV^P.
\end{aligned}
$$
همین نتیجه را میتوان به راحتی برای ارزش بیمه نامههای حق بیمه ناخالص به دست آورد، اما مفروضات فهرست شده زمانی که هزینهها و حق بیمههای ناخالص در نظر گرفته میشوند، بسیار بعید است.