چکیده طرح‌های مشارکت معین اسمی (NDCها) یکی از نوآوری‌های اخیر مهم در طرح‌های بازتوزیعی تأمین اجتماعی بوده‌اند. هدف این فصل ارائه منطق پشت طرح‌های NDC و مطالعه ویژگی‌های بیم‌سنجی اصلی آن‌ها است.
6.1 سازوکار بیم‌سنجی پایه
سازوکار حساب‌های اسمی (که طرح مشارکت معین اسمی یا طرح NDC نیز نامیده می‌شود) بر یک منطق دوگانه استوار است: تأمین مالی بر مبنای پرداخت جاری (Pay-As-You-Go) انجام می‌شود، و محاسبه مزایا از منطق طرح‌های مشارکت معین پیروی می‌کند. همه‌چیز همانند حالتی انجام می‌شود که گویی با تأمین مالی فردی کار می‌کنیم، حتی اگر این محاسبه مجازی باشد، زیرا تأمین مالی همچنان بر مبنای پرداخت به‌جاری باقی می‌ماند («گویا چنین است»).
محاسبه مستمری را می‌توان به سه مرحله تقسیم کرد: سرمایه اسمی، تبدیل این سرمایه اسمی به یک سالانه (annuity)، و بازارزش‌گذاری سالانه.
6.1.1 سرمایه اسمی
سرمایه اسمی متناظر با ارزش اسمی انباشته‌شده تمام حق‌بیمه‌هایی است که عضو طی دوران فعالیت شغلی خود به طرح پرداخت کرده است؛ این حق‌بیمه‌ها با نرخ مشارکت ثابتی، که ناشی از ماهیت مشارکت معین (DC) نظام است، محاسبه می‌شوند. فرض می‌کنیم که حق‌بیمه‌ها در ابتدای دوره پرداخت می‌شوند، و از نمادگذاری زیر استفاده می‌کنیم:
$S_r(x)$ = کل دستمزد واقعی دریافتی توسط عضو در سن $x$،
$S(x)$ = دستمزد عضو که برای بازنشستگی او مورد توجه قرار می‌گیرد،
$x_0$ = سن اولین پرداخت حق‌بیمه،
$x_r$ = سن قانونی بازنشستگی،
$\pi$ = نرخ مشارکت.
$r_x$ = نرخ بازده اسمی اعمال‌شده بین سن $x$ و سن $x\text{+1}$ (نرخ بازده مجازی)،
$NC(z)$ = سرمایه اسمی انباشته‌شده در سن $z$ (ذخیره مجازی در سن $z$).
بنابراین، مشارکت پرداخت‌شده در سن $x$ که به سرمایه اسمی عضو افزوده می‌شود برابر است با $\pi S(x)$.
باید توجه داشت که این مشارکتی که در سرمایه منظور می‌شود لزوماً نباید به کل دستمزد عضو طرح مربوط باشد. امکان تعریف یک سقف تأمین اجتماعی وجود دارد که با $P$ نشان داده می‌شود؛ برای مثال، بخشی از دستمزد که از این سقف فراتر می‌رود دیگر در محاسبه مشارکت لحاظ نمی‌شود:
$$
S(x) = \min \left(S_r(x), P \right).
$$
همچنین می‌توان یک حداقل دستمزد با نماد $S_{\min}$ معرفی کرد که در محاسبه لحاظ شود:
$$
S(x) = \max \left( \min \left(S_r(x), P \right), S_{\min} \right).
$$
این مشارکت‌ها در هر سن، سرمایه اسمی‌ای را ایجاد می‌کنند که متناظر با جمع مبالغ سرمایه‌گذاری‌شده آن‌ها با نرخ‌های اسمی متوالی است. جدول 6.1 روند پیشرفت حساب اسمی را در طول دوران فعالیت شغلی نشان می‌دهد. به‌طور کلی، سرمایه اسمی حاصل در سن $z$ به‌صورت زیر داده می‌شود:
$$
NC(z) = \sum_{x = x_0}^{z-1} \left( \pi S(x) \prod_{y = x}^{z-1} (1 + r_y) \right).
$$
به‌طور خاص، در سن قانونی بازنشستگی، سرمایه اسمی برابر است با:
$$
NC(x_r) = \sum_{x = x_0}^{x_r-1} \left( \pi S(x) \prod_{y = x}^{x_r-1} (1 + r_y) \right).
$$
در خصوص پارامترها و این محاسبه، می‌توان ملاحظات زیر را بیان کرد:
| سن | مشارکت | نرخ اسمی | سرمایه اسمی (پایان سال) |
|---|---|---|---|
| $x_0$ | $\pi S(x_0)$ | $r_{x_0}$ | $\pi S(x_0) (\text{1+}r_{x_0})$ |
| $x_0\text{+1}$ | $\pi S(x_0\text{+1})$ | $r_{x_0+1}$ | $\pi S(x_0) (\text{1+} r_{x_0}) (\text{1+} r_{x_0+1})$ $+ \pi S(x_0\text{+1)} (\text{1+} r_{x_0+1})$ |
| $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $z$ | $\pi S(z)$ | $\dots$ | $\sum_{x = x_0}^{z} \left( \pi S(x) \prod_{y = x}^{z} (1 + r_y) \right)$ |
| $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ |
| $x_r – 1$ | $\pi S(x_r – 1)$ | $r_{x_r-1}$ | $\sum_{x = x_0}^{x_r-1} \left( \pi S(x) \prod_{y = x}^{x_r-1} (1 + r_y) \right)$ |
- در خصوص دستمزدها، باید توجه داشت که نظام به‌گونه‌ای طراحی شده است که تمام دستمزدهای دوران فعالیت شغلی را در نظر بگیرد (و نه فقط دستمزدهای چند سال پایانی، همان‌گونه که در بسیاری از طرح‌های مزایای معین عمل می‌شود). همان‌گونه که پیش‌تر مشاهده شد، دستمزدی که در فرمول لحاظ می‌شود لزوماً متناظر با کل دستمزد دریافتی توسط عضو طرح نیست. در واقع، می‌توان در فرمول حداقل و حداکثر دستمزدها را در نظر گرفت؛ همچنین می‌توان دوره‌های هم‌ارزش را نیز منظور کرد، زمانی که طی آن دستمزد غیر واقعی در نظر گرفته می‌شود (دوره‌های بیکاری یا بیماری). مشارکتی که عملاً توسط عضو پرداخت می‌شود لزوماً با مشارکتی که در محاسبه سرمایه اسمی او منظور می‌گردد یکسان نیست. باید توجه داشت که ماهیت مجازی این تکنیک و استفاده از تأمین مالی پرداخت جاری فراهم‌کردن همبستگی را نسبت به یک طرح کاملاً تأمین‌سرمایه‌ای ساده‌تر می‌سازد.
- در ارتباط با محاسبه سرمایه اسمی، توجه می‌کنیم که این محاسبه به صورت یک انباشت ساده از مشارکت‌های سرمایه‌ای شده بیان می‌شود، بدون آنکه مرگ‌ومیر در طول دوران فعالیت شغلی در نظر گرفته شود. بیشتر طرح‌های حساب اسمی به همین شیوه عمل می‌کنند، که همان‌گونه که در بخش 6.8 خواهیم دید، می‌توان مرگ‌ومیر را پیش از بازنشستگی در آن وارد کرد. یادآور می‌شویم که مرگ‌ومیر می‌تواند در نرخ اسمی نیز گنجانده شود (چنان‌که نمادگذاری نرخ اسمی این امر را القا می‌کند، زیرا این نرخ می‌تواند به سن وابسته باشد).
- در خصوص نرخ سرمایه‌گذاری مجازی $r_t$، باید توجه داشت که این نرخ که «نرخ اسمی» نامیده می‌شود، از سالی به سال دیگر متغیر است و یک پارامتر است که باید توسط نظام تعیین شود. در طرح‌های تأمین‌سرمایه‌ای سنتی، استفاده از نرخ‌های بازده مشاهده‌شده دارایی‌ها کافی است؛ در حساب‌های اسمی، هیچ دارایی‌ای وجود ندارد و بنابراین لازم است مرجعی غیر از نرخ‌های بازار مالی انتخاب شود. همان‌گونه که خواهیم دید، این نرخ‌ها به‌طور کلی به نرخ‌های رشد دستمزدها مرتبط هستند. از سوی دیگر، حتی اگر از نظر نظری این نرخ‌ها بتوانند به‌طور صریح به سن عضو وابسته باشند، در عمل معمولاً در هر سال معین برای همه اعضا یکسان هستند. بخش‌های 6.5 و 6.6 انتخاب این نرخ‌های اسمی را با جزئیات بیشتر بررسی خواهند کرد.
6.1.2 تبدیل سرمایه اسمی به سالانه
در سن بازنشستگی، همانند یک طرح تأمین‌سرمایه‌ای سنتی، سرمایه به یک مستمری مادام‌العمر تبدیل می‌شود. نخستین مستمری بازنشستگی در سن $x_r$ به‌صورت زیر داده می‌شود:
$$
R(x_r) = NC(x_r) \, G,
\qquad (6.1)
$$
که در آن $R(x_r)$ نخستین مستمری بازنشستگی در سن $x_r$ است، $NC(x_r)$ ارزش سرمایه اسمی در زمان بازنشستگی است و $G$ یک ضریب تبدیل است.
این ضریب تبدیل $G$ با شبیه‌سازی اصول تأمین‌سرمایه‌ای محاسبه می‌شود؛ این ضریب بر مبنای قیمت یک مستمری مادام‌العمر شاخص‌بندی‌شده است. نمادگذاری زیر را معرفی می‌کنیم:
- $p(x_r, x)$ = احتمال بقا در سن $x$، مشروط بر اینکه فرد در سن بازنشستگی $x_r$ زنده باشد،
- $\omega$ = سن نهایی بقا،
- $j$ = نرخ سالانه بازارزش‌گذاری مستمری (نرخ پیش‌بینی‌شده)،
- $r$ = نرخ تنزیل اسمی (نرخ پیش‌بینی‌شده).
با فرض اینکه مستمری‌ها به‌صورت سالانه و در ابتدای دوره پرداخت می‌شوند، ضریب تبدیل به‌وسیله رابطه زیر داده می‌شود:
$$
\frac{1}{G} = \ddot{a}_{x_r} = \sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x)\, \frac{(1 + j)^{x – x_r}}{(1 + r)^{x – x_r}}.
\qquad (6.2)
$$
این نرخ تبدیل به پارامترهای زیر وابسته است:
- احتمالات بقای برآوردشده پس از بازنشستگی، که ممکن است از یک نسل از بازنشستگان به نسل دیگر تغییر کند، بسته به تعدیلات طول عمر برآوردشده که مخصوص هر دسته (cohort) است.
- یک نرخ بازارزش‌گذاری مستمری‌ها پس از بازنشستگی؛ در این سطح، چندین گزینه ممکن است: به‌سادگی می‌توان دید که سطح بالاتری از بازارزش‌گذاری به یک نرخ تبدیل کوچک‌تر $G$ و در نتیجه به مستمری اولیه کمتر منجر خواهد شد. یک انتخاب طبیعی، شاخص‌بندی مستمری‌ها به متوسط دستمزدها و در نتیجه استفاده از رشد مورد انتظار دستمزدهای فردی به‌عنوان عامل $g$ است. این انتخاب متعارف در بخش 6.5 توسعه داده خواهد شد.
- یک نرخ تنزیل اسمی که بازتاب‌دهنده بازده مورد انتظار نظام است. تعیین این ضریب نیز در بخش 6.5 به‌تفصیل بررسی خواهد شد.
نرخ تبدیل را می‌توان به‌صورت دیگری نیز نوشت:
$$\frac{1}{G}=\sum_{x = x_r}^{\omega}
\frac{p(x_r, x)}{(1 + a)^{x – x_r}},
$$
که در آن $ \text{1+a=} \frac{1 + r}{1 + j}$ و $a$ یک نرخ تنزیل خالص است.
به‌طور خاص، هنگامی که این نرخ تنزیل خالص $a$ برابر با صفر باشد (برابری میان نرخ تنزیل اسمی و نرخ بازارزش‌گذاری)، ضریب تبدیل متناظر با معکوس امید زندگی در سن بازنشستگی است:
$$\frac{1}{G}=\sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x) e_{x_r}.
$$
معادله (6.1)، که مزایا بازنشستگی را در حساب‌های اسمی تعریف می‌کند، می‌تواند به‌صورت صریح زیر نوشته شود:
$$
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
\left(
\pi S(x) \prod_{y = x}^{x_r – 1} (1 + r_y) \right)= R(x_r) \sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x) \frac{(1 + j)^{x – x_r}}{(1 + r)^{x – x_r}}.
\qquad (6.3)
$$
این رابطه برابری ارزش‌های مورد انتظار تنزیل‌شده جریان‌های مشارکت (کسور) و جریان‌های مزایا را برای یک عضو در طول چرخه عمر بیان می‌کند.
6.1.3 بازارزش‌گذاری مستمری بازنشستگی
پس از بازنشستگی، مستمری‌ها هر سال بر اساس یک شاخص بازارزش‌گذاری می‌شوند که مطابق با انتخاب ضریب بازارزش‌گذاری $j$ که در محاسبه ضریب تبدیل $G$ (معادله (6.2)) انتخاب شده است، تعیین می‌گردد. بنابراین، به‌طور کلی خواهیم داشت:
$$
R(x+1) = R(x)\,(1 + j_x),
\qquad (x > x_r),
$$
که در آن $R(x)$ مستمری واقعی در سن $x$ است و $j_x$ نرخ واقعی بازارزش‌گذاری بین سن $x$ و $x\text{+1}$ می‌باشد.
برای مثال، اگر در ضریب تبدیل $G$، یک ضریب بازارزش‌گذاری متناظر با نرخ رشد مورد انتظار دستمزد متوسط انتخاب کنیم، در این صورت مستمری‌ها را هر سال با نرخ رشد مشاهده‌شده دستمزد متوسط بازارزش‌گذاری خواهیم کرد.
6.2 بی‌طرفی بیم‌سنجی
یکی از ویژگی‌های طبیعی تکنیک حساب‌های اسمی، بی‌طرفی بیم‌سنجی آن در صورت بازنشستگی زودهنگام یا بازنشستگی با تأخیر است (که این ویژگی به‌ندرت در طرح‌های تأمین اجتماعی مزایای معین وجود دارد). در واقع، فرمول (6.3) برای محاسبه مستمری که در سن قانونی بازنشستگی $x_r$ نوشته شده است، می‌تواند به‌طور مشابه در یک سن بازنشستگی مؤثر دیگر نیز به کار گرفته شود.
اگر عضو در سن دیگری بازنشسته شود که با $x^*$ نشان داده می‌شود (به طوری که در صورت بازنشستگی زودهنگام $x^*\text{<} x_r$ و در صورت تعویق بازنشستگی $x^{*} \text{>} x_r$ است)، اصل برابری ارزش‌های مورد انتظار مشارکت‌ها و مزایا در همان سن بیان می‌شود و فرمول (6.3) به شکل زیر در می‌آید:
$$
\sum_{x = x_0}^{x^* – 1}
\left(\pi S(x) \prod_{y = x}^{x^* – 1} (1 + r_y)
\right)=
R(x^*) \sum_{x = x^*}^{\omega}p(x^*, x)
\frac{(1 + j)^{x – x^*}}{(1 + r)^{x – x^*}}.\qquad (6.4)
$$
اگر با $NC(x^*)$ سرمایه اسمی انباشته‌شده در سن مؤثر بازنشستگی $x^*$ را نشان دهیم، آنگاه خواهیم داشت:
$$
R(x^*) = \frac{1}{\ddot{a}_{x^*}} \, NC(x^*).
$$
در مقایسه با آنچه در سن بازنشستگی عادی اتفاق می‌افتد، بنابراین یک ضریب تصحیح اعمال می‌شود:
$$
R(x^*) = G \beta_{x^*} \, NC(x^*),
\qquad (6.5)
$$
که در آن:
$$
\beta_{x^*} = \frac{\ddot{a}_{x_r}}{\ddot{a}_{x^*}}.
$$
در حالت بازنشستگی در سن قانونی، مستمری بازنشستگی برابر خواهد بود با:
$$
R(x_r) = G \, NC(x_r).
\qquad (6.6)
$$
به‌طور خاص:
- در حالت بازنشستگی زودهنگام ($x^* \text{<} x_r$)، $\beta_{x^*} \text{<} 1$ است: مزایا کاهش می‌یابند (بر مبنایی از نظر بیم‌سنجی صحیح)،
- در حالت تعویق بازنشستگی ($x^* \text{>} x_r$)، $\beta_{x^*} \text{>} 1$ است: مزایا افزایش می‌یابند (مشوق مستقیم برای به تعویق انداختن بازنشستگی).
شایان توجه است که مقایسه مستمری‌های به‌دست‌آمده در سن عادی بازنشستگی و در هر سن $x^*$، که به‌ترتیب توسط فرمول‌های (6.6) و (6.5) بیان شده‌اند، یک تصحیح دوگانه را نشان می‌دهد. از یک سو، ما یک ضریب تصحیح داریم که امکان در نظر گرفتن این واقعیت را فراهم می‌کند که مستمری، بنا به تاریخ شروع آن، برای یک دوره زمانی طولانی‌تر یا کوتاه‌تر پرداخت خواهد شد. از سوی دیگر، سرمایه اسمی $NC$ بسته به سنی که مشارکت‌ها پایان می‌یابند متفاوت خواهد بود. برای مثال، در حالت بازنشستگی زودهنگام، تعداد مشارکت‌ها کمتر از مقدار مورد انتظار خواهد بود و این مشارکت‌ها برای مدت زمان کوتاه‌تری با نرخ‌های اسمی انباشته می‌شوند؛ این دو پدیده منجر به سرمایه اسمی‌ای می‌شوند که کمتر از سرمایه‌ای است که در صورت ادامه فعالیت تا سن قانونی بازنشستگی به‌دست می‌آمد.
این آثار، بی‌طرفی بیم‌سنجی حساب‌های اسمی را نشان می‌دهند. از این دیدگاه، بیایید به‌طور صریح در حساب‌های اسمی، اثر جلو انداختن بازنشستگی به میزان یک سال را محاسبه کنیم.
در صورت بازنشستگی در سن $x_r$، مستمری بازنشستگی اسمی به‌طور صریح به شکل زیر داده می‌شود:
$$R(x_r)=\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
\left(
\pi \, S(x)
\prod_{y = x}^{x_r – 1}
(1 + r_y)
\right)
}{
\ddot{a}_{x_r}
}.
$$
به‌طور مشابه، در حالت خروج یک سال زودتر در سن $x_r – 1$، خواهیم داشت:
$$R(x_r – 1)=\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 2}
\left(
\pi \, S(x)
\prod_{y = x}^{x_r – 2}
(1 + r_y)
\right)
}{
\ddot{a}_{x_r – 1}
}.
$$
با مقایسه این دو مقدار متوالی، به‌دست می‌آوریم:
$$R(x_r – 1)=\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 2}
\left(
\pi \, S(x)
\left(
\prod_{y = x}^{x_r – 1}
(1 + r_y)
\right)
\right)
}{
\ddot{a}_{x_r} } \, \frac{\ddot{a}{x_r}}{\ddot{a}_{x_r – 1}} \, \frac{1}{1 + r{x_r – 1}}\\
=\frac{\ddot{a}_{x_r}}{\ddot{a}_{x_r – 1}}
\,
\frac{1}{1 + r_{x_r – 1}}
\,
\left(
R(x_r) – M
\right),
$$
که در آن $M$ برابر با مشارکت پرداختی در آخرین سال فعالیت است.
با تعریف:
$$
M = \frac{1}{\ddot{a}{x_r}} \, \pi \, S(x_r – 1)\,(1 + r{x_r – 1}).
$$
جلو انداختن بازنشستگی به میزان یک سال، مقدار مستمری را در سه سطح تحت تأثیر قرار می‌دهد:
$$
R(x_r – 1) = R_2 R_3 \,(R(x_r) – M),
$$
که در آن:
- $$
R_2 = \frac{\ddot{a}_{x_r}}{\ddot{a}_{x_r – 1}}
$$
اصلاحی را برای این اثر اعمال می‌کند که مستمری برای یک سال بیشتر پرداخت خواهد شد؛ همانند حالت تأمین مالی، این تصحیح به صورت نسبت دو مقرری سالانه بیان می‌شود، اما در اینجا محاسبه بر مبنای اسمی انجام می‌گیرد (ر.ک. معادله (6.2)). - $$
R_3 = \frac{1}{(1 + r_{x_r – 1})}
$$
اصلاحی را برای این واقعیت اعمال می‌کند که مستمری یک سال زودتر پرداخت خواهد شد؛ همانند حالت تأمین مالی، این یک عامل تنزیل برای یک سال است که در اینجا تنها از نرخ اسمی همان سال استفاده می‌شود. در این عبارت، هیچ اثر میرایی وجود ندارد، زیرا محاسبه ارائه‌شده برای حساب اسمی، میرایی پیش از بازنشستگی را در نظر نگرفته است. همانطور که پیش‌تر اشاره شد، در بخش 6.8 نشان خواهیم داد که چگونه اثر بقا پیش از بازنشستگی می‌تواند در حساب‌های اسمی ادغام شود. - $$
M = \frac{1}{\ddot{a}_{x_r}} \, \pi \, S(x_r – 1)\,(1 + r_{x_r – 1})
$$
اثر یک مشارکت کمتر را اصلاح می‌کند.
این بی‌طرفی بیم‌سنجی در طرح‌های سنتی تأمین اجتماعی با مزایای معین بسیار مسئله‌سازتر است: - در حالی‌که جریمه در یک طرح اسمی به‌طور ضمنی وجود دارد، در یک طرح مزایای معین باید به صورت صریح اعمال شود و بنابراین ممکن است از سوی اعضا بسیار منفی تلقی شود.
- جریمه اغلب خطی است (کاهش متناسب با تعداد سال‌های عضویت نسبت به تعداد نظری سال‌ها تا سن بازنشستگی) و از نظر بیم‌سنجی صحیح نیست.
- در نظام‌های مزایای معین سنتی، انگیزه‌های اندکی برای به تعویق انداختن بازنشستگی وجود دارد.
در نهایت، باید توجه داشت که مفهوم سن قانونی بازنشستگی در نظام حساب‌های اسمی، بخشی از اهمیت خود را از دست می‌دهد. در واقع، فرمول هم‌ارزی عمومی (6.4) می‌تواند در هر سنی اعمال شود. بنابراین، این نظام‌ها درجه بالایی از انعطاف‌پذیری را فراهم می‌کنند که با نوعی احساس مسئولیت از سوی عضو، از طریق شیوه محاسبه مزایای بازنشستگی او، همراه است.
6.3 حساب‌های اسمی: مشارکت معین یا مزایای معین؟
در حالی‌که تکنیک حساب‌های اسمی شبیه یک طرح مشارکت معین به نظر می‌رسد، این روش همچنین شباهت‌هایی با یک نظام از نوع مزایای معین دارد که دستمزدهای کل دوره شغلی (نظام میانگین دوره شغلی با شاخص‌گذاری) را در محاسبات خود لحاظ می‌کند.
در واقع، در یک طرح مزایای معین که بر مبنای میانگین شغلی بازارزش‌گذاری‌شده بنا شده است (نگاه کنید به بخش 2.3.1.1)، مستمری بازنشستگی یک فرد در سن بازنشستگی را می‌توان به‌شکل زیر نوشت:
$$R(x_r)=\frac{\alpha}{(x_r – x_0)}
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
S(x)h(x),
\qquad (6.7)
$$
که در آن، $h(x)$ تابع بازارزش‌گذاری دستمزد بین سن $x$ و زمان بازنشستگی است و $\alpha$ درصدی است که توسط طرح اعطا می‌شود.
از سوی دیگر، فرمول عمومی (6.1) برای حساب‌های اسمی به مستمری بازنشستگی زیر منجر می‌شود:
$$R(x_r)=\frac{1}{\ddot{a}_{x_r}} \, \pi \sum{x = x_0}^{x_r – 1}
S(x)
\left(
\prod_{j = x}^{x_r – 1}
(1 + r_j)
\right).
\qquad (6.8)
$$
برابری میان عبارات (6.7) و (6.8) به‌طور طبیعی با انتخاب تابع بازارزش‌گذاری دستمزد به‌صورت زیر حاصل می‌شود:
$$h(x)=\prod_{j = x}^{x_r – 1}
(1 + r_j),
$$
و برای درصد اعطاشده توسط طرح:
$$\alpha=\frac{\pi \,(x_r – x_0)}{\ddot{a}_{x_r}}\pi \, G \,(x_r – x_0).
$$
بنابراین، می‌توان یک نظام حساب اسمی را با یک نظام مزایای معین مبتنی بر میانگین دستمزدهای بازارزش‌گذاری‌شده یکسان دانست، جایی که تابع بازارزش‌گذاری بر نرخ‌های سرمایه‌گذاری مجازی استوار است و نرخ مزایا حاصل‌ضرب نرخ مشارکت و طول کامل دوره شغلی است. به‌طور خاص، در نظام‌های حساب اسمی که نرخ بازده مجازی به نرخ رشد دستمزد نزدیک است، به یک تابع بازارزش‌گذاری کلاسیک مبتنی بر شاخص رشد حقوق و دستمزد دست می‌یابیم.
اگرچه نظام حساب‌های اسمی می‌تواند به‌عنوان شیوه‌ای دیگر برای صورت‌بندی یک نظام مزایای معین با میانگین شغلی در نظر گرفته شود، با این حال باید ماهیت تطبیقی تکنیک حساب‌های اسمی را مورد توجه قرار داد: در حالی‌که در یک طرح مزایای معین سنتی، درصد $\alpha$ که توسط طرح اعطا می‌شود، یک پارامتر برون‌زا و ثابت نظام است، فرمول هم‌ارزی (6.3) نشان می‌دهد که در حساب‌های اسمی، این ضریب تکامل امید زندگی، از طریق ضریب تبدیل $G$، را در نظر خواهد گرفت.
از سوی دیگر، تکنیک حساب‌های اسمی همچنین، بنا به تعریف و برخلاف یک نظام مزایای معین، دارای هدف ثبات نرخ مشارکت است. شرایط تعادل بیم‌سنجی و سازوکارهای تعدیل خودکار ارائه‌شده در ادامه، این تنش میان مزایای معین (DB) و مشارکت معین (DC) را که به‌طور ذاتی در حساب‌های اسمی وجود دارد، روشن خواهند کرد.
در نهایت، باید توجه داشت که در چارچوب افزایش انعطاف‌پذیری در سن بازنشستگی، در بخش 6.2 نشان داده‌ایم که حساب‌های اسمی، برخلاف نظام‌های مزایای معین، متضمن بی‌طرفی بیم‌سنجی هستند.
6.4 حساب‌های اسمی و نرخ جایگزینی
نرخ جایگزینی ابزاری مهم برای سنجش کیفیت یک نظام بازنشستگی است. این نرخ شامل نسبتی است که نخستین مستمری پرداختی در زمان بازنشستگی را با دستمزدهای کسب‌شده پیش از بازنشستگی مقایسه می‌کند. می‌توان مستمری را با آخرین دستمزد زمان اشتغال مقایسه کرد، اما همچنین ممکن است مستمری با میانگین دستمزدها در طول چند سال، یا حتی کل دوره شغلی، مقایسه شود.
اگر از رایج‌ترین مرجع مورد استفاده، یعنی آخرین دستمزد شغلی، استفاده کنیم، می‌توان نرخ جایگزینی را در هر سن $x^*$ به صورت رابطه زیر بیان کرد:
$$rr(x^*)=\frac{R(x^*)}{S(x^*)}\frac{1}{\ddot{a}_{x^*}} \, \pi \sum_{x = x_0}^{x^* – 1}
\left(
\frac{S(x)}{S(x^*)} \prod_{j = x}^{x^* – 1}
(1 + r_j)
\right).
$$
با در نظر گرفتن شکل صریح ضریب تبدیل، خواهیم داشت:
$$rr(x^*)=\frac{
\pi
\sum_{x = x_0}^{x^* – 1}
\left(
\frac{S(x)}{S(x^*)} \prod_{j = x}^{x^* – 1}
(1 + r_j)
\right)
}{
\sum_{x = x^*}^{\omega} p(x^*, x)
\frac{(1 + j)^{x – x^*}}{(1 + r)^{x – x^*}}
}.
$$
به‌طور خاص، اگر فرض کنیم که دستمزدها هر سال با یک نرخ رشد ثابت، که با $g$ نشان داده می‌شود، افزایش می‌یابند، به‌دست می‌آوریم:
$$rr(x^*)=\frac{
\pi
\sum_{x = x_0}^{x^* – 1}
\left(
(1 + g)^{x – x^*} \prod_{j = x}^{x^* – 1}
(1 + r_j)
\right)
}{
\sum_{x = x^*}^{\omega} p(x^*, x)
\frac{(1 + j)^{x – x^*}}{(1 + r)^{x – x^*}}
}.
$$
بنابراین، این نرخ جایگزینی می‌تواند در طول زمان تغییر کند و از فردی به فرد دیگر متفاوت باشد. این نرخ از یک سو به پارامترهای خاص هر فرد (طول دوره خدمت، سن مؤثر بازنشستگی $x^*$، نرخ رشد دستمزد) و از سوی دیگر به پارامترهای نظام (نرخ مشارکت، نرخ بازارزش‌گذاری $r$، نرخ مشارکت $\pi$، و احتمال بقا) وابسته است.
جدول 6.2 ارتباط میان نرخ جایگزینی و این پارامترهای مختلف را نشان می‌دهد. این جدول اثر افزایش هر یک از این پارامترها بر نرخ جایگزینی را، در حالی که سایر شرایط ثابت فرض شده‌اند، توضیح داده و تفسیر می‌کند.
| متغیر (نماد) | اثر افزایش بر نرخ جایگزینی | توضیح |
|---|---|---|
| سن مؤثر بازنشستگی $(x^*)$ | افزایشی | بازنشستگی دیرتر دارای اثر دوگانه است (سرمایه اسمی بزرگتر و دوره دریافت مستمری کوتاه‌تر). |
| سن شروع فعالیت $(x_0)$ | کاهشی | شروع کار در سن پایین‌تر امکان پرداخت مشارکت برای دوره‌ای طولانی‌تر را فراهم می‌کند. |
| نرخ رشد دستمزد $(g)$ | کاهشی | نرخ رشد بالا، مشارکت‌های قدیمی‌تر پرداخت‌شده در گذشته را بی‌ارزش‌تر می‌کند. |
| نرخ بازارزش‌گذاری مستمری $(j)$ | کاهشی | بازارزش‌گذاری بالاتر مستمری‌ها، مستمری اولیه را کاهش می‌دهد. |
| نرخ اسمی $(r)$ | افزایشی | تأمین مالی با نرخ بالاتر، سرمایه اسمی را افزایش داده و ارزش تنزیل‌شده مستمری‌ها را کاهش می‌دهد. |
| احتمال بقا $(p^*(x^*, x))$ | کاهشی | بقای بهتر (ریسک طول عمر بالاتر) ارزش تنزیل‌شده مستمری‌ها را افزایش می‌دهد. |
6.5 انتخاب متعارف حساب‌های اسمی برای یک نظام پایدار
رابطه (6.3)، که سطح مستمری‌ها را در حساب‌های اسمی در سن قانونی بازنشستگی تعریف می‌کند، بر منطقی مبتنی است که هم‌ارزی را در سطح فردی برقرار می‌سازد و از الگوی مورد استفاده در یک نظام مشارکت معین با تأمین مالی کامل پیروی می‌کند. در واقع، در حالت اخیر، مستمری بازنشستگی برای فرد به‌عنوان حل معادله زیر به‌دست می‌آید:
$$
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
\pi S(x)
\prod_{y = x}^{x_r – 1}(1 + i_y)=R(x_r)
\sum_{x = x_r}^{\omega}
p(x_r, x)
\frac{(1 + j)^{x – x_r}}{(1 + i)^{x – x_r}},
\tag{6.9}
$$
که در آن $i_y$ نرخ بازده مالی مؤثر در سن $y$ و $i$ نرخ تنزیل مالی است.
روابط (6.3) و (6.9) از نظر ظاهری کاملاً مشابه به نظر می‌رسند؛ با این حال، یک تفاوت مهم میان این دو نظام وجود دارد:
- در روش‌های دارای تأمین مالی کامل، فرمول (6.9) نه‌تنها مستمری قابل پرداخت را تعریف می‌کند، بلکه هم‌ارزی بیم‌سنجی حاصل از استفاده از تأمین مالی فردی را نیز بیان می‌کند (یعنی تشکیل ذخیره مؤثر در سن بازنشستگی). بنابراین این روش‌ها، بنا به تعریف به‌عنوان نظام‌های کاملاً تأمین مالی‌شده، به‌طور خودکار از نظر بیم‌سنجی متعادل هستند، زیرا تعادل از طریق مقایسه مشارکت‌ها و مزایا در کل دوره شغلی برقرار می‌شود.
- در حساب‌های اسمی، تعادل بیم‌سنجی روش مبتنی بر نظام پرداخت جاری است، یعنی بر یک تعادل جمعی میان درآمدهای ناشی از مشارکت‌ها و پرداخت‌های مستمری و هزینه‌های مستمری که در همان سال برای کل جمعیت مشاهده می‌شود. با این حال، تعریف مستمری حساب‌های اسمی، هرچند منطق تأمین مالی را با تطبیق پارامترهای آن تقلید می‌کند، به‌نظر نمی‌رسد که تعادل بیم‌سنجی را اصلاً در نظر بگیرد.
بنابراین هیچ تضمینی وجود ندارد که یک نظام حساب‌های اسمی متعادل باشد و به‌طور کلی نیز چنین نخواهد بود، مگر در موارد خاصی که به‌ویژه متناظر با انتخاب‌های مشخص پارامترها و به‌خصوص نرخ‌های اسمی باشند.
در این بخش، خود را در یک رژیم ایستا قرار می‌دهیم که در آن پارامترهای مدل در طول زمان ثابت باقی می‌مانند. تحت این فرض، انتخاب به‌اصطلاح متعارف پارامترها را توسعه خواهیم داد که به یک تعادل بیم‌سنجی طبیعی منجر می‌شود. بخش 6.6 این نتایج را به حالت یک محیط ایستای جمعیتی و مالی تعمیم خواهد داد.
ابتدا چارچوب ایستای مورد استفاده در اینجا را توصیف می‌کنیم. ما با یک دستمزد متوسط یکنواخت بر حسب سن و یک مستمری متوسط یکنواخت کار می‌کنیم. هر سال، دستمزدها و مستمری‌ها با یک نرخ ثابت نمایه‌سازی می‌شوند. فرض کنید $S(x,t)$ دستمزد متوسط در زمان $t$ برای گروه سنی $x$ را نشان دهد. تحول دستمزد برای یک عضو معین از یک سال به سال بعد، از یک سو تحت تأثیر افزایش دستمزد مربوط به سن قرار دارد و از سوی دیگر تحت تأثیر بازارزش‌گذاری مرتبط با بازارزش‌گذاری عمومی دستمزدها است. با $\varphi(x)$، مسیر افزایش دستمزد مرتبط با سن $x$ را نشان می‌دهیم. بنابراین دستمزد یک فرد در سن $x$ در زمان $t$ که با $S(x,t)$ نشان داده می‌شود، به‌صورت زیر داده می‌شود:
$$
S(x,t) = S_{x_0}\,\varphi(x)\,(1 + g)^t.
$$
ورود به جمعیت در سن یکنواخت $x_0$ صورت می‌گیرد. بازنشستگی نیز در سن یکنواخت $x_r$ انجام می‌شود. اثر مرگ ومیر پیش از بازنشستگی نادیده گرفته می‌شود. پس از بازنشستگی، احتمالات بقا ایستا هستند، بنابراین $p(x_r, x)$ را به‌عنوان احتمال بقا در سن $x$ به‌شرط اینکه سن بازنشستگی $x_r$ بوده است، در نظر می‌گیریم. هر سال، اندازه جمعیت در هر سن به اندازه ضریب $d$ رشد می‌کند.
در زمان $t$، تعداد ورودی‌های جدید به جمعیت در سن $x_0$ با $L(x_0,t)$ نشان داده می‌شود و برابر است با:
$$
L(x_0,t) = L_0 (1 + d)^t.
\qquad (6.10)
$$
گروهی که در زمان $t$ در سن $x$ قرار دارد (که سن پیش از بازنشستگی است)، در زمان $t – (x – x_0)$ وارد جمعیت شده است؛ اندازه آن به‌صورت زیر داده می‌شود:
$$
L(x,t) = L_0 (1 + d)^{\,t – (x – x_0)},
\qquad (x_0 \le x < x_r).
\qquad (6.11)
$$
به‌طور مشابه، برای سن‌های پس از سن بازنشستگی، خواهیم داشت:
$$
L(x,t) = L_0 (1 + d)^{\,t – (x – x_0)}\, p(x_r, x),
\qquad (x \ge x_r).
\qquad (6.12)
$$
بیایید یک نظام حساب‌های اسمی را در این جمعیت توسعه دهیم. ابتدا نسلی را در نظر می‌گیریم که در سن $x_r$ و در زمان $t$ بازنشسته می‌شود. برای این نسل، دستمزدهای مختلف طی دوره شغلی را می‌توان به‌عنوان تابعی از دستمزد نهایی، با اصلاح اثرات تورم و پیشرفت دستمزدی، به‌دست آورد.
$$
S(x) = S(x, t + (x – x_r)) = S_{x_0}\varphi(x)(1 + g)^{\,t + (x – x_r)}.
$$
بگذارید $S_f(t)$ دستمزد در زمان $t$ در آخرین سن اشتغال، یعنی سن $x_r – 1$، که تا زمان $t$ بازارزش‌گذاری شده است را نشان دهد:
$$
S_f(t) = S(x_r – 1, t – 1)(1 + g) = S_{x_0}\varphi(x_r – 1)(1 + g)^t.
$$
می‌توان نوشت:
$$
S(x, t + (x – x_r))
= S_f(t)\,\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_r – 1)}\,\frac{1}{(1 + g)^{\,x_r – x}}\\
= S_f(t)\,\Psi(x)\,\frac{1}{(1 + g)^{\,x_r – x}},
$$
که در آن
$$
\Psi(x) = \frac{\varphi(x)}{\varphi(x_r – 1)}
= \frac{S(x,t)}{S(x_r – 1,t)}
= \frac{S(x,t)}{S_f(t)},
$$
نسبت میان دستمزد فردی در سن $x$ و دستمزد فردی است که در همان زمان درست پیش از بازنشستگی قرار دارد (با تصحیح برای پیشرفت دستمزدی).
فرمول (6.8) برای مستمری در حساب‌های اسمی، بدین ترتیب برای این نسل، یک مستمری اولیه برابر با مقدار زیر را به ما می‌دهد:
$$R(x_r, t)=\frac{
\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} S(x)\,(1 + r)^{\,x_r – x}
}{
\ddot{a}_{x_r}}\\=\frac{
\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} S_f(t)\,\frac{(1 + r)^{\,x_r – x}}{(1 + g)^{\,x_r – x}}\,\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x)\,\frac{(1 + g)^{\,x – x_r}}{(1 + r)^{\,x – x_r}}
}.
\qquad (6.13)
$$
به‌طور مشابه، نسل قبلی که یک سال پیش، در زمان $t – 1$، بازنشسته شده است، دارای مستمری اولیه‌ای برابر بوده است با:
$$R(x_r, t – 1)=\frac{
\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} S_f(t – 1)\,\frac{(1 + r)^{\,x_r – x}}{(1 + g)^{\,x_r – x}}\,\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x)\,\frac{(1 + g)^{\,x – x_r}}{(1 + r)^{\,x – x_r}}
}.
$$
در زمان $t$، این مستمری به اندازه ضریب $\text{(1 + }g)$ نمایه‌سازی می‌شود؛ بنابراین به شکل زیر در می‌آید:
$$R(x_r + 1, t)=R(x_r, t – 1)(1 + g)\frac{
\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} S_f(t – 1)\,\frac{(1 + r)^{\,x_r – x}}{(1 + g)^{\,x_r – x}}\,\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x)\,\frac{(1 + g)^{\,x – x_r}}{(1 + r)^{\,x – x_r}}
}
(1 + g).
$$
با توجه به اینکه دستمزدها نیز با نرخ $g$ تحول می‌یابند، داریم:
$$
S_f(t – 1)(1 + g) = S_f(t)
$$
و بنابراین:
$$R(x_r + 1, t)=\frac{
\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} S_f(t)\,\frac{(1 + r)^{\,x_r – x}}{(1 + g)^{\,x_r – x}}\,\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x)\,\frac{(1 + g)^{\,x – x_r}}{(1 + r)^{\,x – x_r}}}=R(x_r, t).
$$
به‌طور کلی، با توجه به شرایط ایستای مدل و فرض اینکه مستمری‌ها به دستمزدها نمایه‌سازی می‌شوند، تمامی نسل‌ها در زمان $t$ مستمری بازنشستگی یکسانی دریافت خواهند کرد که برابر است با:
$$R(z, t)=\frac{
\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} S_f(t)\,\frac{(1 + r)^{\,x_r – x}}{(1 + g)^{\,x_r – x}}\,\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega} p(x_r, x)\,\frac{(1 + g)^{\,x – x_r}}{(1 + r)^{\,x – x_r}}}=R(t)
\qquad
\forall z \ge x_r.
\qquad (6.14)
$$
توجه کنید که این فرمول به نرخ رشد جمعیت $d$ وابسته نیست، امری که ممکن است برای یک نظام پرداخت جاری شگفت‌آور به نظر برسد.
در واقع، تکنیک پرداخت جاری هنوز برای تعیین مزایای مستمری به‌کار گرفته نشده است. اکنون قید تعادل بیم‌سنجی را بیان خواهیم کرد که بیان می‌کند در یک نظام پرداخت جاری خالص، مجموع مزایای پرداختی در زمان $t$ به تمام بازنشستگان باید با مجموع مشارکت‌های دریافتی از شاغلان در همان زمان برابر باشد. این رابطه تعادلی به ما امکان خواهد داد تا یک نرخ اسمی متعادل را برجسته کنیم.
بنابراین، در زمان $t$، از یک سو مجموع مشارکت‌ها و از سوی دیگر مجموع مزایا را محاسبه می‌کنیم. مجموع مشارکت‌ها برابر است با مشارکت متوسط ضرب‌در تعداد اعضای شاغل در زمان $t$:
$$\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} L(x, t)\,S(x, t)=\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1} L(x, t)\,S_f(t)\,\Psi(x).
$$
مجموع مزایا برابر است با مستمری متوسط ضرب‌در تعداد بازنشستگان در زمان $t$:
$$
R(t)\,\sum_{x = x_r}^{\omega} L(x, t).
$$
با برابر قرار دادن دو مقدار تجمعی و با در نظر گرفتن فرمول (6.14) برای مستمری بازنشستگی $R(t)$ و روابط جمعیتی (6.11) و (6.12)، به‌دست می‌آوریم:
$$
\pi S_f(t)\sum_{x = x_0}^{x_r – 1} L_0(1 + d)^{\,t – (x – x_0)}\Psi(x)\\
=\left(
\pi S_f(t)
\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
\left(\frac{1 + r}{1 + g}\right)^{\,x_r – x}\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega}
p(x_r, x)\left(\frac{1 + g}{1 + r}\right)^{\,x – x_r}
}
\right)
\sum_{x = x_r}^{\omega}
L_0(1 + d)^{\,t – (x – x_0)} p(x_r, x).
$$
یا پس از گروه‌بندی مجدد و ساده‌سازی:
$$
\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
(1 + d)^{-(x – x_0)}\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega}
p(x_r, x)(1 + d)^{-(x – x_0)}}\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
\left(\frac{1 + r}{1 + g}\right)^{\,x_r – x}\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega}
p(x_r, x)\left(\frac{1 + g}{1 + r}\right)^{\,x – x_r}
}.
$$
یا با ضرب صورت و مخرج عبارت سمت چپ در $(1 + d)^{\,x_r – x_0}$:
$$
\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
(1 + d)^{\,x_r – x}\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega}
p(x_r, x)(1 + d)^{\,x_r – x}}\frac{
\sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
\left(\frac{1 + r}{1 + g}\right)^{\,x_r – x}\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega}
p(x_r, x)\left(\frac{1 + g}{1 + r}\right)^{\,x – x_r}
}.
$$
بنابراین، تعادل بیم‌سنجی در صورتی حاصل خواهد شد که شرط زیر برقرار باشد:
$$
1 + r = (1 + d)(1 + g).
\qquad (6.15)
$$
این فرمول بنیادی نشان می‌دهد که تحت شرایط مدل، مناسب است نرخ اسمی $r$ برابر با نرخی انتخاب شود که توسط فرمول (6.15) تعیین می‌شود؛ این نرخ، ترکیب نرخ رشد جمعیت و نرخ رشد دستمزد متوسط فردی را نشان می‌دهد. این نرخ بنابراین با نرخ رشد توده مشارکت‌ها متناظر است (انباشت یک اثر جمعیتی و یک اثر دستمزدی).
این دقیقاً همان روشی است که در آن مدل متعارف حساب‌های اسمی تولید می‌شود و به قاعده‌ی مضاعف زیر منجر می‌گردد: مستمری‌های جاری با همان نرخی نمایه‌سازی می‌شوند که دستمزد متوسط فردی رشد می‌کند، و حساب‌های اسمی با نرخ رشد توده مشارکت‌ها سرمایه‌گذاری اسمی می‌شوند.
در این مدل متعارف، مستمری بازنشستگی به‌شکل زیر درمی‌آید:
$$R(t)=\frac{
\pi \sum_{x = x_0}^{x_r – 1}
S_f(t)\left(\frac{1 + d}{1 + g}\right)^{\,x_r – x}\Psi(x)
}{
\sum_{x = x_r}^{\omega}
p(x_r, x)\frac{1}{(1 + d)^{\,x – x_r}}
}.
\qquad (6.16)
$$
دو نکته باید بیان شود. از یک سو، این انتخاب متعارف تنها تحت فرض‌های ایستایی مدل به تعادل رژیم اسمی منجر می‌شود. به‌طور خاص، فرض می‌کند که مرگ ومیر در طول زمان تغییر نمی‌کند و از قانونی که در ابتدا پیش‌بینی شده تبعیت می‌نماید، اینکه جمعیت در حالت ایستایی توصیف‌شده توسط روابط (6.11) و (6.12) باقی می‌ماند، و اینکه دستمزد، که برای همه یکنواخت است، هر سال با نرخ ثابتی تحول می‌یابد. خواهیم دید در بخش 6.7 که هنگامی که این فروض دیگر برقرار نباشند، استفاده از انتخاب متعارف، هرچند همچنان به‌طور شهودی طبیعی به نظر برسد، دیگر به‌طور کلی تعادل بیم‌سنجی را تضمین نخواهد کرد. قواعد دیگر یا سازوکارهای تعدیل خودکار باید به‌کار گرفته شوند.
از سوی دیگر، فرض کرده‌ایم که هیچ مرگ ومیری پیش از بازنشستگی وجود ندارد (سازوکار حساب پس‌انداز مجازی پیش از بازنشستگی)؛ این فرض را می‌توان تعدیل کرد و آثار مرگ‌های میانه‌دوره شغلی بر سازوکارهای طرح را می‌توان در نظر گرفت. این نکته در بخش 6.8 بررسی خواهد شد.
6.6 گونه‌های مختلف انتخاب کانونی برای یک طرح حالت پایدار
در مدل ایستا، انتخاب کانونی یک شرط کافی برای تعادل است، اما شرط لازم نیست. سایر طرح‌ها نیز می‌توانند به تعادل اکچوئری منجر شوند. تنوع‌های اصلی مربوط به نحوهٔ شاخص‌بندی مستمری پس از بازنشستگی است. در مدل کانونی که در بالا ارائه شد، فرض کرده‌ایم که مستمری دقیقاً با همان نرخی رشد می‌کند که متوسط دستمزد جمعیت شاغل رشد می‌کند. نرخ تبدیل مورد استفاده در مخرج فرمول، بازارزیابی‌ای را لحاظ می‌کند که با نرخ رشد متوسط دستمزد پیش‌بینی شده است. این رویکرد تا زمانی طبیعی به نظر می‌رسد که درآمد بازنشستگان نیز همانند درآمد شاغلان تحول یابد. اما می‌توان مستمری را با نرخ دیگری بازارزیابی کرد یا حتی اصلاً بازارزیابی نکرد، به شرط آنکه انسجامی میان نحوهٔ محاسبهٔ مستمری اولین بازنشستگی (ضریب تبدیل) و نحوهٔ بازارزیابی عملی مستمری در طول زمان وجود داشته باشد.
برای مثال، فرض کنید تصمیم می‌گیریم مستمری‌ها را با نرخی $j$ متفاوت از نرخ رشد متوسط دستمزد $g$ شاخص‌بندی کنیم. در این صورت، فرمول‌هایی که در بالا توسعه داده شده‌اند باید در دو سطح تعدیل شوند:
- مقدار مستمری نخست برای بازنشستگان جدید: فرمول (6.13) باید برای لحاظ کردن نرخ اسمی سالانهٔ متفاوت اصلاح شود و به صورت زیر درآید
$$
R(x_r,t)=\frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S(x)(1+r)^{x_r-x}}{\ddot{a}_{x_r}}
\\=\frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t)\frac{(1+r)^{x_r-x}}{(1+g)^{x_r-x}}\Psi(x)}
{\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{(1+j)^{x-x_r}}{(1+r)^{x-x_r}}}.
$$
- بازارزیابی مستمری‌های گذشته: مستمری‌های نسل‌های قبلی باید با نرخ $j$ و نه $g$ شاخص‌بندی شوند. بنابراین، برای نسلی که یک سال قبل بازنشسته شده است، در سال $t$، فرمول (6.14) به شکل زیر در می‌آید
$$
R(x_r+1,t)=R(x_r,t-1)(1+j)
\\=
\frac
{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t-1)\frac{(1+r)^{x_r-x}}{(1+g)^{x_r-x}}\Psi(x)}
{\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{(1+g)^{x_r-x}}{(1+r)^{x-x_r}}}
(1+j)
\\=R(x_r,t)\left(\frac{1+j}{1+g}\right).
$$
به طور کلی، هر نسل از بازنشستگان مستمری متفاوتی خواهد داشت، و فرمول (6.14) برای یک بازنشسته با سن $x_r\text{+m}$ در سال $t$ به صورت زیر در می‌آید:
$$
R(x_r+m,t)=
\frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t-m)\frac{(1+r)^{x_r-x}}{(1+g)^{x_r-x}}\Psi(x)}
{\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{(1+j)^{x-x_r}}{(1+r)^{x-x_r}}}
(1+j)^m
\\=\frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} \frac{S_f(t)}{(1+g)^m}\frac{(1+r)^{x_r-x}}{(1+g)^{x_r-x}}\Psi(x)}
{\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{(1+j)^{x-x_r}}{(1+r)^{x-x_r}}}
(1+j)^m
\\=R(x_r,t)\left(\frac{1+j}{1+g}\right)^m .
$$
مجموع مستمری‌هایی که باید در سال $t$ پرداخت شوند، برابر است با
$$
\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x,t)R(x,t).
$$
تراز بین درآمدها و مخارج در یک نظام پرداخت جاری اکنون به صورت زیر نوشته می‌شود
$$\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x,t)S_f(t)\Psi(x)=\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x,t)R(x,t),
$$
یعنی
$$
\pi S_f(t)
\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L_0(1+d)^{t-(x-x_0)}\Psi(x)
\\=\sum_{x=x_r}^{\omega}
L_0(1+d)^{t-(x-x_0)}p(x_r,x)
\frac{
\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} \frac{(1+r)^{x_r-x}}{(1+g)^{x_r-x}}\Psi(x)}
{
\sum_{y=x_r}^{\omega} p(x_r,y)\frac{(1+j)^{y-x_r}}{(1+r)^{y-x_r}}
}
\left(\frac{1+j}{1+g}\right)^{x-x_r},
$$
که می‌توان آن را به صورت زیر نوشت
$$\frac{
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}(1+d)^{x_r-x}\Psi(x)
}{
\sum_{x=x_r}^{\omega}p(x_r,x)(1+d)^{x_r-x}
\left(\frac{1+j}{1+g}\right)^{x-x_r}
}
\\=\frac{
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}\left(\frac{1+r}{1+g}\right)^{x_r-x}\Psi(x)
}{
\sum_{x=x_r}^{\omega}p(x_r,x)
\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{x-x_r}
\left(\frac{1+j}{1+g}\right)^{x-x_r}
}.
$$
بنابراین، شرط تعادل بیم‌سنجی برای نرخ اسمی $r$ همانند رابطهٔ (6.15) باقی می‌ماند:
$$
1+r=(1+d)(1+g).
$$
انتخاب پارامتر بازارزیابی $j$ برای مستمری‌های پس از بازنشستگی یک پارامتر مهمِ انعطاف‌پذیری در یک نظام حساب اسمی است. به طور خاص، مقداری از $j$ که کمتر از نرخ رشد دستمزدها $g$ باشد، از طریق یک ضریب تبدیل مساعدتر، به مستمری اولیه‌ای بالاتر نسبت به انتخاب کانونی منجر می‌شود، اما پس از آن رشد سریع‌تری خواهد داشت. در اینجا یک موازنهٔ مستقیم میان سطح اولیه و نرخ رشد وجود دارد. در مدلی ایستا که در اینجا بررسی شده است، این انتخاب بر مقدار تعادلی نرخ اسمی $r$ که مساوی با نرخ رشد تودهٔ پرداختی‌ها باقی می‌ماند، تأثیری ندارد.
انتخاب کانونی به یک نرخ بازارزیابی مستمری برابر با $\text{j=g}$ منجر می‌شود. در این حالت، سالیانهٔ تبدیل سرمایهٔ اسمی به شکل زیر است
$$\ddot{a}_{x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\left(\frac{1+j}{1+r}\right)^{x-x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{1}{(1+d)^{x-x_r}}.
\qquad (6.17)
$$
سالیانهٔ تبدیل به عنوان یک سالیانهٔ مادام‌العمر ثابت با نرخ تنزیلی متناظر با نرخ رشد جمعیت محاسبه می‌شود.
به طور جایگزین، می‌توان حالات زیر را در نظر گرفت:
- $\text{j=0}$: بدون بازارزیابی مستمری‌ها. در این حالت، سالیانهٔ تبدیل برابر است با
$$\ddot{a}_{x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{1}{(1+r)^{x-x_r}},
$$
(سالیانهٔ مادام‌العمر ثابت که با نرخ اسمی تنزیل شده است.)
- $\text{j=g-1\%}$: بازارزیابی با نرخ رشد دستمزدها منهای یک درصد ثابت (برای مثال، شاخص‌بندی مستمری‌ها ۱٪ کمتر از دستمزدها). حالات 1 و 2 به مستمری اولیه‌ای بالاتر نسبت به حالت کانونی منجر می‌شوند.
- $\text{1+j=1+r=(1+g)(1+d)}$: بازارزیابی مستمری‌ها با نرخ اسمی (نرخ رشد تودهٔ پرداختی‌ها). در این حالت، بازارزیابی نسبت به مدل کانونی مساعدتر (به ترتیب نامساعدتر) خواهد بود، هنگامی که جمعیت در حال رشد (به ترتیب کاهش) است. در این حالت، سالیانه به شکل سادهٔ امید زندگی در زمان بازنشستگی در می‌آید:
$$\ddot{a}_{x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x).
\qquad (6.18)
$$
- $\text{1+j=}\frac{1+r}{1.01}$: بازارزیابی مستمری‌ها با نرخ اسمی تصحیح‌شده توسط یک شکاف ۱٪. در این حالت، سالیانه برابر است با
$$\ddot{a}_{x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{1}{(1.01)^{x-x_r}},
$$
(سالیانهٔ مادام‌العمر ثابت که با نرخ شکاف انتخاب‌شده (در اینجا ۱٪) تنزیل شده است.)
پهلوان،
۶.۷ یک مدل تعادل غیرایستا با سه دوره
مدل تعادل بیم‌سنجی که در بخش پیشین بررسی شد، بر مفروضات ایستایی جمعیتی و مالی استوار بود. هدف این بخش آن است که بررسی شود آیا در حضور یک مدل غیرایستا نیز همچنان امکان برقراری تعادل وجود دارد یا خیر. برای روشن‌سازی موضوع، از یک مدل ساده‌ی سه‌دوره‌ای استفاده می‌کنیم که به ما اجازه می‌دهد دو پدیده‌ی مهم در حساب‌های اسمی را به‌صورت صوری نشان دهیم: انباشت حساب با نرخ اسمی در طول دوره‌ی اشتغال، و تجدید ارزیابی مستمری‌ها پس از بازنشستگی. به‌طور خاص خواهیم دید که در این مدل غیرایستا چگونه باید انتخاب پارامترها را تعدیل کرد تا تعادل بیم‌سنجی در نظام پرداخت به‌هنگام (PAYG) حفظ شود.
۶.۷.۱ مفروضات
در سطح جمعیتی، اعضا در سن $y$ وارد جمعیت می‌شوند و یک دوره کار می‌کنند؛ در سن $y\text{+1}$ بازنشسته شده و در آن سن نخستین مستمری را دریافت می‌کنند. در سن $y\text{+2}$، افراد بازمانده دومین مستمری را دریافت می‌کنند. در سن $y\text{+3}$، دیگر هیچ بازمانده‌ای وجود ندارد. در زمان $t$، تعداد ورودی‌های جدید به جمعیت در سن $y$ با نماد زیر نشان داده می‌شود:
$$
L(y,t)=L_0 \prod_{j=1}^{t}(1+d_j).\qquad (6.19)
$$
نرخ رشد جمعیت، $d_j$، فرض می‌شود که از سالی به سال دیگر تغییر کند (در مقایسه با فرض ایستایی در (6.10)).
در سن بازنشستگی $y\text{+1}$، فرض می‌شود همه افراد زنده مانده‌اند و داریم:
$$
L(y+1,t)=L(y,t-1)=L_0 \prod_{j=1}^{t-1}(1+d_j).\qquad (6.20)
$$
به‌طور مشابه، در سن بعدی $y\text{+2}$، داریم:
$$
L(y+2,t)=L(y+1,t-1)p_t=L_0 p_t \prod_{j=1}^{t-2}(1+d_j).\qquad (6.21)
$$
احتمال بقا بین سن $y\text{+1}$ و سن $y\text{+2}$ در زمان $t$ که با $p_t$ نشان داده می‌شود، می‌تواند در طول زمان تغییر کند (برای مثال به‌صورت تابعی افزایشی از زمان، به‌منظور مدل‌سازی افزایش طول عمر).
از سن $y\text{+3}$ به بعد، دیگر هیچ بازمانده‌ای وجود ندارد:
$$
L(z,t)=0 \qquad \forall z \ge y+3.
$$
در این جمعیت، شاغلان با سن $y$ دستمزدی دریافت می‌کنند که در زمان $t$ به‌صورت زیر داده می‌شود:
$$
S(t)=S_0 \prod_{j=1}^{t}(1+g_j).
$$
نرخ رشد دستمزد $g_t$ و نرخ رشد مستمری $j_t$ نیز، برخلاف مدل ایستا، فرض می‌شوند که از یک سال به سال دیگر متغیر باشند.
۶.۷.۲ طرح حساب‌های اسمی
اکنون در این جمعیت، یک نظام اسمی را بر مبنای نرخ مشارکت ثابت $\pi$ توسعه می‌دهیم. برای نسلی که در زمان $t$ و در سن $y\text{+1}$ بازنشسته می‌شود، مستمری قابل پرداخت به‌صورت زیر خواهد بود:
$$
R(y+1,t)=\frac{\pi S(t-1)(1+r_t)}{a(t)}.
$$
صورت این کسر، حساب اسمی در زمان بازنشستگی را نشان می‌دهد (انباشت اسمیِ ساختگیِ مشارکت‌ها)؛ مخرج، سالانه‌ی تبدیل است که در زمان $t$ باید اعمال شود. ما باید دو پارامتر را انتخاب کنیم: نرخ اسمی سال $t$ که با $r_t$ نشان داده می‌شود، و سالانه‌ی تبدیلِ قابل اعمال که با $a(t)$ نشان داده می‌شود.
برای افراد در سن $y\text{+2}$ در زمان $t$، مستمری‌ای که در زمان $t\text{-}1$ و هنگام بازنشستگی کسب کرده‌اند، به‌طور مشابه به‌صورت زیر قابل نوشتن است:
$$
R(y+1,t-1)=\frac{\pi S(t-2)(1+r_{t-1})}{a(t-1)}.
$$
در زمان $t$، این مستمری تجدید ارزیابی شده و به شکل زیر درمی‌آید:
$$
R(y+2,t)=R(y+1,t-1)(1+j_t)=\frac{\pi S(t-2)(1+r_{t-1})}{a(t-1)} (1+j_t).
$$
حال بیایید در زمان $t$، مجموع مشارکت‌ها و مزایا را محاسبه کنیم:
- مجموع مشارکت‌ها:
$$
\pi S(t)L(y,t),
$$ - مجموع مزایا:
$$
R(y+1,t)L(y+1,t)+R(y+2,t)L(y+2,t).
$$
با برابر قرار دادن این دو عبارت، رابطه زیر را به دست می‌آوریم:
$$
\pi S(t)L_0 \prod_{j=1}^{t}(1+d_j)= \frac{\pi S(t-2)(1+r_{t-1})}{a(t-1)} (1+j_t)L_0 p_t \prod_{j=1}^{t-2}(1+d_j)
$$
$$
+\frac{\pi S(t-1)(1+r_t)}{a(t)}L_0 \prod_{j=1}^{t-1}(1+d_j).\qquad (6.22)
$$
پس از ساده‌سازی، به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم:
$$
(1+g_{t-1})(1+g_t)(1+d_{t-1})(1+d_t)\\
=\frac{1+r_{t-1}}{a(t-1)}(1+j_t) p_t+\frac{(1+r_t)(1+g_{t-1})}{a(t)}(1+d_{t-1}).\qquad (6.23)
$$
این رابطه همچنان می‌تواند با بیان نرخ تجدید ارزیابی مستمری بر حسب تابعی از سایر پارامترها، به‌صورت زیر نوشته شود:
$$\begin{eqnarray}
1+j_t\\
&=\frac{(1+g_{t-1})(1+d_{t-1})}{p_t}
\frac{a(t-1)}{a(t)}
\frac{1+r_t}{1+r_{t-1}}
\left( \frac{(1+g_t)(1+d_t)}{1+r_t} a(t)-1\right).\\&\qquad (6.24)
\end{eqnarray}$$
این رابطهٔ تعادلی شامل سه پارامتر است که باید در سال $t$ کالیبره شوند: نرخ اسمی $r_t$، نرخ تجدید ارزیابی مستمری $j_t$ و سالانهٔ تبدیل $a(t)$، بر اساس تحول مشاهده‌شدهٔ سه متغیر $g$ (رشد مشاهده‌شدهٔ دستمزد)، $d$ (رشد مشاهده‌شدهٔ جمعیت) و $p$ (احتمال بقای مشاهده‌شده). بنابراین، تعداد بی‌نهایتی از نظام‌های ممکن وجود دارد.
۶.۷.۳ حالت خاص ایستا
ابتدا توجه کنیم که در حالت ایستا (که در آن تمام پارامترها مستقل از زمان می‌شوند)، رابطهٔ (6.24) به صورت زیر تقلیل می‌یابد:
$$
1+j=\frac{(1+g)(1+d)}{p}\left(\frac{(1+g)(1+d)}{(1+r)}a-1\right).
$$
با در نظر گرفتن مقدار نرخ اسمی تعادلی (6.15)، داریم:
$$
1+j=\frac{1+r}{p}(a-1),
$$
یا
$$
a=1+p\frac{1+j}{1+r},
$$
که متناظر با سالانهٔ تبدیل اسمی در مدلی است که در اینجا مورد بررسی قرار گرفته است.
این نتیجه تأیید می‌کند که در یک رژیم ایستا، استفاده از نرخ اسمی طبیعی (6.15) به ما امکان می‌دهد صرف‌نظر از مقدار نرخ تجدید ارزیابی مستمری‌ها، به تعادل دست یابیم. به‌طور خاص، مستمری‌ها می‌توانند بر اساس متوسط دستمزد شاخص‌گذاری شوند (انتخاب کانونی).
۶.۷.۴ حالت عمومی غیرایستا
اکنون نشان می‌دهیم که در حالت کلی، انتخاب کانونی دیگر از نظر بیم‌سنجی متعادل نیست. در این مدل پویا، انتخاب کانونی متناظر با پارامترگذاری زیر خواهد بود:
- نرخ اسمی: رشد مشاهده‌شده در کل مشارکت‌ها:
$$
1+r_t=(1+d_t)(1+g_t). \qquad (6.25)
$$
- نرخ تجدید ارزیابی مستمری: رشد مشاهده‌شدهٔ دستمزد انفرادی:
$$1+j_t=1+g_t, \tag{6.26}$$ - سالانهٔ تبدیل: قیمت مستمری سالانه بر اساس داده‌های قابل مشاهده در زمان $t$:
$$a(t)=1+p_t\frac{1+g_t}{1+r_t}=1+p_t\frac{1}{1+d_t}. \tag{6.27}$$
حال بیایید در عبارت (6.24)، نرخ اسمی را با مقدار پیشنهادی (6.25) جایگزین کنیم؛ به دست می‌آوریم:
$$1+j_t=(1+r_t)\frac{a(t-1)}{a(t)}\frac{1}{p_t}(a(t)-1). \tag{6.28}$$
با در نظر گرفتن مقدار مستمری سالانه (6.27)، حاصل می‌شود:
$$1+j_t=(1+g_t)\frac{a(t-1)}{a(t)}=(1+g_t)\kappa_t. \tag{6.29}$$
بنابراین، در این حالت غیرایستا، یک ضریب اصلاحی در رابطه با انتخاب کانونی (6.26) ظاهر می‌شود: با توجه به نرخ اسمی و شکل مستمری سالانه، تجدید ارزیابی مستمری‌ها دیگر دقیقاً از تجدید ارزیابی دستمزدها پیروی نمی‌کند؛ یک ضریب تعدیل ظاهر می‌شود که به شکل نسبت بین دو مستمری سالانه بیان می‌شود:
$$\kappa_t=\frac{a(t-1)}{a(t)}. \tag{6.30}$$
به‌ویژه، اگر نرخ رشد جمعیت پایداری را در سال $t$ فرض کنیم ($\text{d}_{t-1}\text{ = d}_t \text{= d}$)، به دست می‌آوریم:
$$\kappa_t=\frac{1+\frac{p_{t-1}}{1+d}}{1+\frac{p_t}{1+d}}. \tag{6.31}$$
اگر طول عمر بهبود یابد ($p_{t-1} \text{<}p_t$)، ضریب تعدیل کمتر از ۱ خواهد بود. مستمری‌ها اکنون تنها می‌توانند با نرخی پایین‌تر از دستمزدها شاخص‌گذاری شوند؛ یک تعدیل خودکار مرتبط با افزایش طول عمر وجود دارد.
برای خنثی کردن این اثر طول عمر، افزایش جمعیت شاغل به‌موازات آن ضروری خواهد بود. در واقع، با توجه به (6.29)، شرط $\text{a(t-1) = a(t)}$ ، که امکان تجدید ارزیابی یکسان مستمری‌ها و دستمزدها را فراهم می‌کند، نتیجه می‌دهد:
$$1+d_t=(1+d_{t-1})\frac{p_t}{p_{t-1}}.$$
در نتیجه، و برخلاف حالت ایستا، انتخاب کانونی (6.25)، (6.26)، (6.27)، اگرچه همچنان شهودی است، دیگر تعادل بیم‌سنجی را در یک مدل غیرایستا تضمین نمی‌کند. بنابراین، در مدل مورد نظر، اگر بخواهیم منطق فرمول‌های نرخ اسمی (6.25) و مستمری سالانه تبدیل (6.27) را حفظ کنیم، فرمول تجدید ارزیابی مستمری (6.26) نمی‌تواند حفظ شود بلکه باید به (6.29) تبدیل شود.
۶.۷.۵ گونه‌ها
راه‌حل (6.29) که در بالا توسعه داده شد، یک شرط کافی برای تعادل است؛ این یک شرط لازم نیست. ما در اینجا سه گونه را بر اساس تطبیق‌های جایگزین زیر توسعه خواهیم داد:
- گونه ۱: استفاده از احتمالات آتی،
- گونه ۲: تجدید ارزیابی بر اساس نرخ اسمی،
- گونه ۳: تعدیل نرخ اسمی.
۶.۷.۵.۱ گونه ۱: استفاده از احتمالات آتی
پارامترهای تعادلی به دست آمده، که از انتخاب کانونی مشتق شده‌اند (نرخ اسمی (6.25)، مستمری سالانه (6.27) و نرخ تجدید ارزیابی مستمری (6.29))، تنها به عناصری بستگی دارند که در زمان $t$ قابل مشاهده هستند؛ این امر تعیین آن‌ها را آسان می‌کند، زیرا آن‌ها بر اساس کمیت‌های قابل اندازه‌گیری هستند. به‌ویژه باید توجه داشت که مستمری سالانه بر اساس احتمال مشاهده‌شده در زمان $t$ (جدول مقطعی) است و نه بر اساس یک احتمال پیش‌بینی‌شده در $t \text{+1}$ (جدول گروه مورد نظر)، آن‌چنان که گاهی در برخی مدل‌های حساب اسمی استفاده می‌شود.
استفاده از احتمالات مشاهده‌شده در واقع در سیستم پرداخت جاری طبیعی‌تر است، زیرا تعادل بیم‌سنجی در یک لحظه واحد در نظر گرفته می‌شود، و نه در طول کل عمر یک گروه در یک زمینه اندوخته‌گذاری (Funding)، استفاده از احتمالات آتی برای هر گروه طبیعی‌تر می‌بود. این قاعده بدیهی است که در اینجا نیز می‌تواند در نظر گرفته شود، با توجه به تعداد درجات آزادی. اما ما نشان خواهیم داد که این پارامترگذاری، اگرچه ممکن است، منجر به رفتاری پیچیده‌تر و خلاف شهود مکانیسم شاخص‌گذاری می‌شود.
برای مثال، اگر از مقادیر زیر برای دو پارامتر اول استفاده کنیم:
- نرخ اسمی:
$$1+r_t = (1+d_t)(1+g_t),$$ - مستمری سالانه تبدیل:
$$a(t) = 1 + p_{t+1} \frac{1}{1+d_t},$$
(مستمری سالانه تبدیل با استفاده از یک احتمال رو به جلو (آتی) به جای یک احتمال مشاهده‌شده)، معادله تعادل (6.28) نتیجه می‌دهد:
$$1 + j_t = (1 + g_t) \frac{a(t-1)}{a(t)} \frac{p_{t+1}}{p_t}. \tag{6.32}$$
در مقایسه با ضریب تعدیل (6.30)، بنابراین یک عبارت مکمل بر اساس نسبت دو احتمال متوالی ظاهر می‌شود:
$$\kappa_t = \frac{a(t-1)}{a(t)} \frac{p_{t+1}}{p_t}.$$
علاوه بر شکل پیچیده‌تر آن نسبت به فرمول (6.30)، بیایید نشان دهیم که این قاعده، هنگامی که در زمینه افزایش طول عمر اعمال شود، منجر به یک اصلاح خلاف شهود می‌شود. بیایید فرض کنیم، همانند قبل، که رشد جمعیت پایدار است ($\text{d}_{t-1}\text{ = d}_t \text{= d}$)؛ در این حالت، رابطه (6.32) می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:
$$\kappa_t = \frac{p_{t+1}}{p_t} \frac{1+\frac{p_t}{1+d}}{1+\frac{p_{t+1}}{1+d}}. \tag{6.33}$$
در حالت بهبود طول عمر (یعنی $p_t\text{<} p_{t+1}$)، به آسانی می‌توان نشان داد که اکنون ضریب تعدیل بزرگتر از یک است:
$$
\begin{aligned}
\frac{p_{t+1}}{p_t} \frac{1+\frac{p_t}{1+d}}{1+\frac{p_{t+1}}{1+d}} > 1 & \iff p_{t+1} \left( 1+\frac{p_t}{1+d} \right) > p_t \left( 1+\frac{p_{t+1}}{1+d} \right) \\
& \iff p_{t+1} > p_t.
\end{aligned}
$$
این امر منجر به افزایش مستمری‌ها با نرخی بالاتر از نرخ رشد دستمزدها در زمانی می‌شود که طول عمر در جمعیت افزایش می‌یابد! بنابراین قاعده به دست آمده توسط (6.31) منطقی‌تر به نظر می‌رسد؛ بنابراین استفاده از احتمالات جاری به جای احتمالات آتی توصیه می‌شود. همچنین می‌توان این نتایج را به صورت زیر تفسیر کرد: ضرایب تعدیل (6.31) و (6.33) پیشنهاد می‌کنند که در حالت افزایش طول عمر:
- استفاده از احتمالات جاری منجر به یک مستمری اولیه می‌شود که بیش از حد سخاوتمندانه است و برای حفظ تعادل بیم‌سنجی باید کمتر از دستمزدها تجدید ارزیابی شود،
- استفاده از احتمالات آتی منجر به یک مستمری اولیه می‌شود که بیش از حد پایین است و باید بیش از دستمزدها تجدید ارزیابی شود.
۶.۷.۵.۲ گونه ۲: تجدید ارزیابی بر اساس نرخ اسمی
اگر تجدید ارزیابی مستمری‌ها، نه بر اساس نرخ رشد دستمزدها، بلکه بر اساس نرخ رشد توده دستمزد انجام شود، مستمری سالانه تبدیل به یک امید زندگی تبدیل می‌شود (ر.ک. (6.27))، و با استفاده از احتمالات جاری، خواهیم داشت:
$$a(t) = 1 + p_t.$$
نرخ اسمی همواره به صورت زیر داده می‌شود:
$$1 + r_t = (1 + d_t)(1 + g_t).$$
معادله تعادل (6.28) سپس به صورت زیر در می‌آید:
$$1 + j_t = (1 + r_t) \frac{a(t-1)}{a(t)} \frac{1}{p_t} (a(t) – 1).$$
با جایگذاری مستمری سالانه با مقدار آن، به دست می‌آوریم:
$$1 + j_t = (1 + r_t) \kappa_t.$$
بنابراین تجدید ارزیابی واقعی بر اساس تجدید ارزیابی مطلوب (در اینجا نرخ اسمی) است اما مجدداً توسط همان نسبت مستمری سالانه که در اقتباس (6.29) بود، اصلاح می‌شود:
$$\kappa_t = \frac{a(t-1)}{a(t)}.$$
۶.۷.۵.۳ گونه ۳: تعدیل هم‌زمان نرخ اسمی و نرخ تجدید ارزیابی
تاکنون، ما تنها یک ضریب اصلاح را بر نرخ تجدید ارزیابی مستمری اعمال کرده‌ایم. همچنین می‌توان نرخ اسمی را اصلاح کرد. ما فرض خواهیم کرد که نرخ اسمی می‌تواند با استفاده از فرم کانونی (نرخ رشد توده دستمزد)، که توسط یک ضریب تعدیل که باید تعیین شود اصلاح شده است، نوشته شود:
$$1 + r_t = (1 + g_t)(1 + d_t)\varphi_t. \tag{6.34}$$
ما فرض خواهیم کرد که همان اصلاح بر تجدید ارزیابی مستمری‌های جاری اعمال می‌شود:
$$1 + j_t = (1 + g_t)\varphi_t. \tag{6.35}$$
مستمری تبدیل همواره به صورت زیر داده می‌شود:
$$a(t) = 1 + p_t \frac{1}{1+d_t}.$$
با جایگذاری این مقادیر (6.34) و (6.35) در رابطه تعادل عمومی (6.24)، به دست می‌آوریم:
$$1 = \frac{1}{p_t} \frac{a(t-1)}{a(t)} \frac{(1+d_t)}{\varphi_{t-1}} \left( \frac{a(t)}{\varphi_t} – 1 \right).$$
سپس یک رابطه بازگشتی برای ضریب اصلاح بر روی نرخ اسمی استاندارد به دست می‌آوریم:
$$\varphi_t = \frac{a(t)}{1 + p_t \frac{a(t)}{a(t-1)} \frac{\varphi_{t-1}}{1+d_t}} = \frac{1 + p_t \frac{1}{1+d_t}}{1 + p_t \frac{a(t)}{a(t-1)} \frac{\varphi_{t-1}}{1+d_t}}.$$
به ویژه، در سال نخستی که سیستم از حالت ایستا خارج می‌شود (یعنی $\varphi_{t-1} \text{=} 1$)، اولین اصلاحی که باید انجام شود به صورت زیر است:
$$\varphi_t = \frac{1 + p_t \frac{1}{1+d_t}}{1 + p_t \frac{a(t)}{a(t-1)} \frac{1}{1+d_t}}. \tag{6.36}$$
به ویژه، اگر نرخ رشد جمعیت $d$ پایدار باشد، افزایش احتمال بقا $p$ منجر به افزایش در مستمری سالانه تبدیل خواهد شد:
$$\frac{a(t)}{a(t-1)} > 1$$
و بنابراین طبق رابطه (6.36)، به اولین ضریب اصلاح $\varphi \text{<} 1$ منجر می‌شود.
۶.۷.۵.۴ نتیجه‌گیری
در حالت غیرایستا (یعنی زمانی که نرخ رشد دموگرافیک، طول عمر و/یا رشد دستمزدها ثابت نیستند)، اعمال قانون کانونی کلاسیک منجر به تعادل بیم‌سنجی نمی‌شود. ما در آن صورت سه متغیر داریم که می‌توان بر روی آن‌ها عمل کرد تا به این تعادل بازگردیم: نرخ تجدید ارزیابی مستمری، نرخ اسمی و مستمری تبدیل. نتایج به‌دست‌آمده در مدل در نظر گرفته شده، توصیه‌های زیر را پیشنهاد می‌کنند:
- مکانیزم‌های اصلاحی متعددی امکان‌پذیر است، با توجه به سه درجه آزادی موجود.
- تکنیک حساب‌های فرضی (notional accounts) برای تعیین مستمری‌های سالانه تبدیل با استفاده از احتمالات مشاهده‌شده مناسب‌تر است تا احتمالات آینده‌نگر (prospective). این نتیجه ممکن است در نگاه اول نسبت به ایده تبدیل یک سرمایه فرضی برای نسل بازنشسته، خلاف شهود به نظر برسد. اما این امر در واقع کاملاً با مکانیزم تأمین مالی زیربنایی سازگار است، که صرفاً طرح پرداخت جاری (Pay-As-You-Go) باقی می‌ماند و نه تأمین مالی نسلی.
- ضرایب اصلاح به دست آمده عموماً بر حسب نسبت دو مستمری سالانه تبدیل متوالی بیان می‌شوند (ر.ک. ضرایبی از نوع (6.30)).
۶.۸ ادغام سودهای مرگ‌ومیر
ما تاکنون اثر مرگ‌ومیر پیش از بازنشستگی را نادیده گرفته‌ایم (با توجه به اینکه مرگ‌ومیر پس از بازنشستگی به خوبی در مستمریِ تبدیل حساب فرضی در نظر گرفته شده است). فرمول سرمایه فرضی صرفاً مبتنی بر سرمایه‌گذاری (کاپیتالیزاسیون) مشارکت‌ها با نرخ‌های اسمی متوالی است؛ مدل‌های جمعیتی در نظر گرفته شده شامل مرگ‌ومیر پیش از بازنشستگی نبودند. این فرض اغلب در مدل‌های فرضی با قیاس با تحول یک حساب پس‌انداز استاندارد استفاده می‌شود. اما البته هیچ مانعی برای گنجاندن مرگ‌ومیر پیش از بازنشستگی وجود ندارد.
اگر در این حالت در نظر بگیریم که برای مشارکت‌کنندگانی که در طول دوره کاری خود فوت می‌کنند، هیچ حقوق مکتسبه‌ای حفظ نمی‌شود، می‌توانیم به طور شهودی انتظار داشته باشیم که در نظر گرفتن مرگ‌ومیر در طول دوره کاری، عملکرد سیستم فرضی را بهبود می‌بخشد، به پیروی از نمونه پدیده «اعتبار مرگ‌ومیر» در بیمه عمر. مشارکت‌های پرداخت شده توسط اعضایی که قبل از سن بازنشستگی به طور زودرس فوت می‌کنند، تحت این فرضیه هیچ حقی به آن‌ها نمی‌دهد؛ آن‌ها امکان بهبود بازنشستگی بازماندگان را فراهم خواهند کرد.
۶.۸.۱ معرفی پاداش بقا
به منظور درک پدیده‌های اعتبار مرگ‌ومیر و پاداش بقا در یک مثال ساده، بیایید ابتدا مدل ۳ دوره‌ای ارائه شده در بخش ۶.۷ را در نظر بگیریم، اما این بار در یک نسخه ایستا بازبینی شده است.
در چنین مدلی، اندازه جمعیت بر اساس الگوی زیر تغییر می‌کند (ر.ک. (6.19)، (6.20) و (6.21)):
- نیروی کار (سن $y$):
$$L(y, t) = L_0(1 + d)^t,$$
- جمعیت در سن بازنشستگی (سن $y\text{+1}$):
$$L(y + 1, t) = L(y, t – 1) = L_0(1 + d)^{t-1},$$
- جمعیت در آخرین سن (سن$y\text{+2}$):
$$L(y + 2, t) = L(y + 1, t – 1)p = L_0 p(1 + d)^{t-2},$$
که در آن $d$ نرخ رشد جمعیت و $p$ احتمال بقا پس از بازنشستگی است.
اکنون اجازه دهید مرگ‌ومیر پیش از بازنشستگی را نیز معرفی کنیم. بگذارید $p_0$ احتمال بقا در طول دوره کاری (بین سن ورود $y$ و سن بازنشستگی $y\text{+1}$) را نشان دهد. در این صورت داریم:
$$
L(y,t) = L_0(1+d)^t\\
L(y+1,t) = L_0(1+d)^{t-1} p_0\\
L(y+2,t) = L_0(1+d)^{t-2} p_0 p.
$$
فرض می‌شود که دستمزد افراد شاغل از قانون زیر پیروی کند:
$$
S(t) = S_0(1+g)^t.
$$
مستمری پرداختی به نسلی که در زمان $t$ بازنشسته می‌شود، برابر است با سرمایه فرضی انباشته شده با نرخ اسمی جدید $r^*$، تقسیم بر مستمریِ تبدیل:
$$
R^*(y+1,t) = \frac{\pi S(t-1)(1+r^*)}{a}.
$$
سپس مستمریِ تبدیل مطابق با انتخاب کانونی (ر.ک. (6.27)) به صورت زیر داده می‌شود:
$$
a = 1 + p \frac{1}{1+d}. \tag{6.37}
$$
برای تعیین نرخ تعادلی اسمی جدید $r^*$، و با فرض اینکه مستمری‌ها همانند دستمزدها تجدید ارزیابی می‌شوند، رابطه تعادل (6.22) این امکان را به ما می‌دهد که نرخ اسمی لازم برای دستیابی به تعادل بیم‌سنجی را به دست آوریم:
$$
\pi S(t)L(y,t) = R^*(y+1,t)L(y+1,t) + R^*(y+2,t)L(y+2,t).
$$
با جایگذاری، عبارت (6.23) این بار به صورت زیر در می‌آید:
$$(1+g)^2 (1+d)^2=\frac{1+{r^*}}{a}(1+g)p p_0 + \frac{(1+r^*)(1+g)}{a}(1+d)p_0
$$
یا پس از ساده‌سازی و با در نظر گرفتن شکل مستمری سالانه تبدیل (6.37)، خواهیم داشت:
$$
1 + r^* = \frac{(1+g)(1+d)}{p_0}. \tag{6.38}
$$
بنابراین نرخ اسمی در مقایسه با نسخه کانونی به اندازه ضریب $1/p_0$ افزایش می‌یابد. در نظر گرفتن مرگ‌ومیر در مدل اجازه می‌دهد تا نرخ اسمی بالاتری به بازماندگان اعطا شود.
به ویژه، ما می‌توانیم مفهوم پاداش بقا در سن بازنشستگی را برجسته کنیم، که با $DS$ نشان داده می‌شود، و به عنوان تفاوت بین سرمایه فرضی با اعتبار مرگ‌ومیر و سرمایه فرضی بدون این اثر تعریف می‌شود:
$$
DS(t) = NC^*(y + 1, t) – NC(y + 1, t), \tag{6.39}
$$
که در آن $\text{=}NC^*(y\text{+1}, t) $ سرمایه فرضی در بازنشستگی با اثر مرگ‌ومیر و $\text{=}NC(y \text{+1}, t) $ سرمایه فرضی در بازنشستگی بدون اثر مرگ‌ومیر است.
این پاداش در اینجا به صورت زیر داده می‌شود:
$$
DS(t) = \pi S(t – 1) (r^* – r) = \pi S(t)(1 + d) \left( \frac{1}{p_0} – 1 \right). \tag{6.40}
$$
۶.۸.۲ پاداش بقای جزئی
به جای بازتوزیع کامل ارزش حساب‌های ناشی از فوت‌های پیش از بازنشستگی به بازماندگان، می‌توان یک تخصیص ترکیبی از حساب‌ها را در صورت فوت پیش از بازنشستگی فراهم کرد:
- نسبتی برابر با $ \alpha \text{-1}$ از حساب‌ها به پاداش بقا برای بازماندگان هم‌دسته (کوهورت) می‌پیوندد، همانطور که در بالا به تفصیل بیان شد.
- نسبتی برابر با $\alpha$ از حساب‌ها به عنوان مزایای بازماندگان عمل می‌کند، برای مثال، برای همسر بازمانده؛ بنابراین، این مقدار در خدمت تجدید ارزیابی کلی حساب‌های بازماندگان هم‌دسته قرار نمی‌گیرد.
در این حالت، همانند بخش ۶.۸.۱، ما همچنان می‌توانیم یک نرخ اسمی افزایش‌یافته توسط اثر اعتبار مرگ‌ومیر را برجسته کنیم؛ اما این بار، تنها بخشی از اعتبار مرگ‌ومیر به تجدید ارزیابی حساب‌های هم‌دسته تخصیص می‌یابد.
۶.۸.۳ پاداش بقا و تأمین مالی طول عمر
با فرض اینکه هیچ مزایایی از نوع بازماندگان پیش از بازنشستگی پرداخت نشود، وجود اعتبار مرگ‌ومیر تولید شده توسط اعضایی که پیش از بازنشستگی مشارکت کرده‌اند اما قبل از سن بازنشستگی فوت کرده‌اند، یک مقدار اضافی برای هر هم‌دسته‌ای که به بازنشستگی می‌رسد حاصل می‌کند که ما آن را پاداش بقا نامیده‌ایم و می‌تواند به روش‌های مختلفی استفاده شود.
۶.۸.۳.۱ افزایش در مزایا
همانطور که در بالا پیشنهاد شد، پاداش بقا می‌تواند به طور کامل برای افزایش مستمری‌های بازنشستگی هم‌دسته (کوهورت) استفاده شود. در این حالت، مستمری سالانه اولیه در زمان بازنشستگی بدون اعتبار مرگ‌ومیر، که به صورت زیر داده می‌شود:
$$
R(y + 1, t) = \frac{\pi S(t – 1)(1 + r)}{a} = \frac{\pi S(t)(1 + d)}{a},
$$
تبدیل می‌شود به:
$$
R^*(y + 1, t) = \frac{\pi S(t – 1) (1 + r^*)}{a} = \frac{\pi S(t)(1 + d)}{p_0 a}.
$$
۶.۸.۳.۲ پیش تأمین مالی طول عمر
در غیاب مزایای بازماندگان، وجود اعتبارات مرگ‌ومیر امکان افزایش اولین مستمری بازنشستگی از سطح $R(y \text{+1}, t)$ به سطح $R^*(y\text{+1}, t)$ را فراهم می‌سازد. اما می‌توان به صورت جایگزین پاداش بقا را حفظ کرد و از آن برای تأمین مالی افزایش احتمالی در بقا پس از بازنشستگی استفاده نمود.
در این حالت، سطح اولیه مستمری $R(y\text{+1}, t)$ حفظ می‌شود (اعضا به طور مستقیم اعتبار دریافت نمی‌کنند) و پاداش بقا این امکان را فراهم می‌سازد که در مدل مورد بررسی در اینجا، با طول عمری بهتر از آنچه در سن $y \text{+2}$ انتظار می‌رفت مقابله شود، یعنی یک احتمال واقعی بقا بین سن $\text{+1}$ و سن $y \text{+2}$، در سطحی معادل $p^*$ که بالاتر از سطح مورد انتظار $p$ است (با شرط $p^* \text{>} p$).
حال بیایید حداکثر افزایش بقایی را که توسط سود سهام بقا تأمین مالی می‌شود (حداکثر سطح احتمال $p^*$) محاسبه کنیم. در غیاب اثر طول عمر، تعهد در سن بازنشستگی $y$ برای هم‌دسته، سرمایه فرضی $NC$ است که به صورت زیر داده می‌شود:
$$
R(y + 1, t)a = \pi S(t)(1 + d).
$$
در حضور یک اثر طول عمر بین سن $y \text{+1}$ و سن $y \text{+2}$، بدهی‌ها به $R(y \text{+1}, t)a^*$ تبدیل می‌شوند، که در آن $a^*$ مستمری سالانه جدیدی است که با استفاده از احتمال بقای افزایش‌یافته $p^*$ محاسبه شده است (مقایسه کنید با معادله (6.37)):
$$
a^* = 1 + p^* \frac{1}{1 + d}.
$$
تفاوت در بدهی‌ها ناشی از افزایش طول عمر را بنابراین می‌توان به صورت زیر نوشت:
$$
\Delta(t) = \pi S(t)(1 + d) \left( \frac{a^*}{a} – 1 \right) = \pi S(t)(1 + d) \left( \frac{1 + \frac{p^*}{1+d}}{1 + \frac{p}{1+d}} – 1 \right). \tag{6.41}
$$
پاداش این امکان را فراهم می‌کند که این افزایش بدهی تأمین مالی شود، زمانی که
$$\Delta(t)\ \le DS(t)$$
،یعنی با در نظر گرفتن معادلات (6.40) و (6.41):
$$
\left( \frac{1 + \frac{p^*}{1+d}}{1 + \frac{p}{1+d}} – 1 \right) \le \frac{1}{p_0} – 1.
$$
این رابطه حد بالایی برای بقای پس از بازنشستگی ارائه می‌دهد:
$$
p^* \le \frac{p}{p_0} + (1 + d) \left( \frac{1}{p_0} – 1 \right). \tag{6.42}
$$
به عنوان مثال عددی، فرض کنید احتمال پیش از بازنشستگی $p_0 = 0.98$، احتمال مورد انتظار پس از بازنشستگی $p = 0.9$ و نرخ رشد جمعیت $d = 0.01$ باشد. آنگاه با اعمال فرمول (6.42)، حداکثر احتمال بقا پس از بازنشستگی برابر با $p^* = 0.939$ به دست می‌آید.
۶.۸.۴ مدل چند سنی کلی
در مدل ایستا چند سنی که در بخش ۶.۶ توسعه داده شد، اکنون اثرات مرگ‌ومیر پیش از بازنشستگی بر تعادل بیم‌سنجی طرح را تعمیم می‌دهیم. ما در این مدل احتمالات بقای بین هر زوج سنی (و نه فقط پس از سن بازنشستگی) را معرفی می‌کنیم.
ما با نماد $p(y, x)$ احتمال بقا در سن $x$ را به شرط زنده بودن در سن $y$ ($y \text{≤} x$) نشان خواهیم داد. فرض می‌شود که این احتمالات در یک مدل ایستا مستقل از زمان هستند. توابع جمعیت (6.11) و (6.12) اکنون هم برای پیش و هم پس از سن بازنشستگی با فرم زیر داده می‌شوند:
$$
L(x, t) = L_0 p \left(x_0, x\right) (1 + d)^{t-(x-x_0)} \quad (x_0 \le x \le \omega). \tag{6.43}
$$
اکنون یک مدل حساب‌های فرضی تعریف می‌کنیم که در آن نرخ اسمی می‌تواند وابسته به سن باشد تا بتوانیم احتمالات بقای سالانه وابسته به سن را در نظر بگیریم. با در نظر گرفتن فرمول عمومی حساب‌های فرضی (6.13) و معرفی نرخ‌های اسمی وابسته به سن، برای نسلی که در سال $t$ بازنشسته می‌شود، به دست می‌آوریم:
$$
R(x_r, t) = \frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S(x) \prod_{y=x}^{x_r-1} (1 + r_y)}{\ddot{a}_{x_r}} \\= \frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} \frac{S_f(t)\Psi(x)}{(1+g)^{x_r-x}} \prod_{y=x}^{x_r-1} (1 + r_y)}{\ddot{a}_{x_r}},
$$
که در آن $r_y$ نرخ اسمی است که باید بین سنین $y$ و $y \text{+1}$ اعمال شود، و مستمری سالانه تبدیل $a$ نیز به وسیله (6.17) داده می‌شود.
اگر مستمری‌ها را هر سال با همان نرخی که دستمزدها تجدید ارزیابی می‌شوند بازارزش‌گذاری کنیم، دیده‌ایم که در این مدل ایستای پایا، همه نسل‌ها در زمان $t$ مستمری یکسانی دریافت خواهند کرد (رجوع کنید به رابطه (6.14))، که اکنون به صورت زیر درمی‌آید:
$$
R(z, t) = \frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} \dfrac{S_f(t)\,\Psi(x)}{(1+g)^{x_r-x}} \prod_{y=x}^{x_r-1} (1+r_y)}{\ddot{a}_{x_r}} \\= R(t) \quad \forall z \ge x_r. \tag{6.44}
$$
در مدلی که مرگ‌ومیر پیش از بازنشستگی را در نظر نمی‌گیرد، نشان داده‌ایم که سیستم بر مبنای پرداخت جاری (Pay-As-You-Go) متعادل است، اگر نرخ اسمی به گونه‌ای انتخاب شود که (نگاه کنید به (6.15)):
$$
1 + r = (1 + d)(1 + g).
$$
با الهام از فرمول (6.38)، به نظر می‌رسد طبیعی باشد که این بار نرخ اسمی وابسته به سن $r_y$ را به صورت زیر پیشنهاد کنیم:
$$
1 + r_y = \frac{(1 + g)(1 + d)}{p(y, y + 1)}.
$$
در این صورت، حاصل‌ضرب عوامل اسمی شکل ساده زیر را به خود می‌گیرد:
$$
\prod_{y=x}^{x_r-1} (1 + r_y)
= \frac{(1 + g)^{x_r-x}(1 + d)^{x_r-x}}
{\prod_{y=x}^{x_r-1} p(y, y+1)}
= \frac{(1 + g)^{x_r-x}(1 + d)^{x_r-x}}{p(x, x_r)}.
$$
با استفاده از این نرخ اسمی، مستمری بازنشستگی در رابطه (6.44) به صورت زیر در می‌آید:
$$
R(t)
= \frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} \dfrac{S_f(t)\,\Psi(x)}{(1+g)^{x_r-x}}
\prod_{y=x}^{x_r-1} (1+r_y)}{\ddot{a}_{x_r}} \\= \frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t)\,\Psi(x)\,
\dfrac{(1+d)^{x_r-x}}{p(x,x_r)}}
{\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r, x)\left(\dfrac{1}{1+d}\right)^{x-x_r}}.
$$
اکنون نشان می‌دهیم که یک تعادل بیم‌سنجی وجود دارد، یعنی در سطح کل جمعیت، بین حق‌بیمه‌های دریافت‌شده و مستمری‌های بازنشستگی قابل پرداخت، برابری برقرار است:
$$\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) S_f(t)\,\Psi(x)=R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t).
$$
با استفاده از فرم (6.43) تابع جمعیت $L(x,t)$، طرف راست این معادله به صورت زیر در می‌آید:
$$\begin{eqnarray}
R(t)\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x,t)&&\\\
&=&\frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t)\Psi(x)\dfrac{(1+d)^{x_r-x}}{p(x,x_r)}}
{\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\left(\dfrac{1}{1+d}\right)^{x-x_r}}
\sum_{x=x_r}^{\omega} L_0 p(x_0,x)(1+d)^{t-(x-x_0)}
\\&=&\left(
\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} \frac{S_f(t)\Psi(x)(1+d)^{x_r-x}}{p(x,x_r)}
\right)
L_0(1+d)^t .\\&&&(1+d)^{-(x_r-x_0)}p(x_0,x_r)
\\&=&\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t)\Psi(x)p(x_0,x)L_0(1+d)^{t-(x-x_0)}
\\&=&\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t)\Psi(x)L(x,t).
\end{eqnarray}$$
بنابراین، یک تعادل بیم‌سنجی برقرار است.
با پیروی از مثال (6.39)، می‌توان یک پاداش بقا معرفی کرد که به عنوان تفاوت بین ارزش سرمایه‌گذاری‌شده طی کل دوره فعالیت شغلی و ارزش سرمایه‌گذاری مالی حق‌بیمه‌ها در کل دوره اشتغال تعریف می‌شود:
$$\begin{eqnarray}
DS(t) &=& NC^*(x_r,t) – NC(x_r,t)\\
&=&\pi S_f(t)\sum_{x=x_0}^{x_r-1} \Psi(x)(1+d)^{x_r-x}
\left(
\frac{1}{p(x,x_r)} – 1
\right).
\tag{6.45}
\end{eqnarray}$$
این پاداش بقا را می‌توان با هزینه تأمین مالی طول عمر مقایسه کرد، هزینه‌ای که ناشی از افزایش امید زندگی در سن بازنشستگی و در نتیجه افزایش مستمری تبدیل است.
فرض کنید که به دلیل اثر افزایش طول عمر، مستمری تبدیل از سطح
$$\ddot{a}_{x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{x-x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r,x)\frac{1}{(1+d)^{x-x_r}}
$$
به سطح
$$\ddot{a}_{x_r}^*=\sum_{x=x_r}^{\omega} p^*(x_r,x)\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{x-x_r}=\sum_{x=x_r}^{\omega} p^*(x_r,x)\frac{1}{(1+d)^{x-x_r}}
$$
افزایش یابد.
در این صورت، هزینه کل، با فرض اینکه منافع مرگ‌ومیر به نرخ‌های اسمی منظور نشوند بلکه در پاداش بقا نگه داشته شوند چنین می‌شود. (نگاه کنید به (6.41)):
$$\Delta(t)=\left(\pi S_f(t)
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}
\Psi(x)(1+d)^{x_r-x}
\right)
\left(
\frac{\ddot{a}^{*}{x_r}}{\ddot{a}{x_r}} – 1
\right).
\tag{6.46}
$$
مقایسه روابط (6.45) و (6.46) نشان می‌دهد که پاداش بقا قادر خواهد بود افزایش امید زندگی را تأمین مالی کند، مشروط بر آنکه مستمری تبدیل جدید حاصل از جدول زندگی جدید شرط کران زیر را داشته باشد:
$$
\ddot{a}^{*}_{x_r} \le \ddot{a}_{x_r}
\,
\frac{
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}
\dfrac{\Psi(x)(1+d)^{x_r-x}}{p(x,x_r)}
}
{
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}
\Psi(x)(1+d)^{x_r-x}
}.
$$
به طور خاص، در غیاب اثرات دستمزد و رشد جمعیت، به دست می‌آوریم:
$$
\ddot{a}^{*}_{x_r} \le \ddot{a}_{x_r}
\,
\frac{
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}
\dfrac{1}{p(x,x_r)}
}
{x_r – x_0}.
$$
۶.۹ بدهی ضمنی و ترازنامه تعادل بیم‌سنجی پرداخت جاری
۶.۹.۱ تعادل کوتاه‌مدت یا بلندمدت
معادله‌ی تعادل بیم‌سنجی در نظام پرداخت جاری (درآمد = هزینه‌ها در هر سال) بنا به تعریف، مبتنی بر یک رویکرد کوتاه‌مدت است، در مقابل تأمین مالی در آن معمولاً با ارزش‌های تنزیل شده جریان‌های آتی در افق‌های زمانی بلند استفاده می‌شود. این امر به این معنا نیست که رویکرد بلندمدت در پرداخت جاری مطلوب یا عملی نیست. یک دولت نمی‌تواند تنها با یک نگاه کوتاه‌مدت به تراز سیستم تأمین اجتماعی خود رضایت داشته باشد. پیش‌بینی‌های آتی برای مدیریت سیستم ضروری هستند. با این حال، برقراری تعادل یک نظام پرداخت جاری در بلندمدت از حالت تأمین مالی آسیب پذیرتر است و تعاریف متعددی برای آن وجود دارد. در واقع، مفاهیم متفاوتی وجود دارد که امکان برجسته‌سازی، از یک سو، بدهی ضمنی موجود در هر نظام پرداخت جاری و، از سوی دیگر، تراز خود سیستم را فراهم می‌سازد. دشواری برقراری یک ترازنامه برای یک نظام پرداخت جاری در افق زمانی ذاتاً نامتناهی آن نهفته است. هر تلاشی برای در نظر گرفتن جریان‌ها تنها در یک افق زمانی محدود، ناگزیر به تحریف‌هایی منجر می‌شود: تعاریف از نظر جمعیت‌هایی که در محاسبه لحاظ می‌شوند و از نظر نحوه محدودسازی افق زمانی برای متناهی‌سازی آن، متفاوت خواهند شد (در عمل، پیش‌بینی‌ها همواره بر روی افق‌های زمانی متناهی انجام می‌شوند).
به طور کلی، بدهی (یا ذخیره) یک طرح، اگر به صورت آینده‌نگر نگریسته شود، شکل زیر را خواهد گرفت:
ذخیره برابر است با:
ارزش تنزیل شده مستمری‌ها منهای ارزش تنزیل شده مشارکت‌ها
سپس می‌توانیم به صورت نظری چهار سطح بنیادی زیر را برجسته کنیم (که سه مورد اول در افق زمانی متناهی و چهارمی در افق زمانی نامتناهی هستند):
۱. بدهی بازنشستگان: تنها حقوق مستمری‌بگیران فعلی در تاریخ ارزش‌گذاری در نظر گرفته می‌شود. در این صورت ذخیره به صورت زیر نوشته می‌شود:
ذخیره برابر است با: ارزش تنزیل شده مستمری‌های آتی بازنشستگان فعلی.
اگر $i$ نرخ تنزیل انتخابی باشد، داریم
$$
V(t) = \sum_{x=x_r}^{\omega} \sum_{s=0}^{\omega-x} R(x+s, t+s)L(x+s, t+s)\frac{1}{(1+i)^s}.
$$
۲. بدهی سیستم-بسته: ما تنها جمعیتی (شاغل یا بازنشسته) را در نظر می‌گیریم که در تاریخ ارزش‌گذاری وجود دارند و مشارکت‌های آتی و مستمری‌های آتی را برای این دو گروه برآورد می‌کنیم:
ذخیره برابر است با:
ارزش تنزیل‌شده مستمری‌های آتی بازنشستگان فعلی
+ ارزش تنزیل‌شده مستمری‌های آتی شاغلان فعلی
– ارزش تنزیل‌شده مشارکت‌های آتی شاغلان فعلی
اگر $i$ نرخ تنزیل انتخابی باشد، $p(x, y)$ احتمال بقا تا سن $y$ با فرض زنده بودن در سن $x$، و
$S(x \text{+} s, t \text{+} s)$ میانگین دستمزد در سن $x \text{+} s$ در زمان $t \text{+} s$ باشد،
$$
\begin{eqnarray}
V(t) &=& \sum_{x=x_r}^{\omega} \sum_{s=0}^{\omega-x} R(x+s, t+s)L(x+s, t+s)\frac{1}{(1+i)^s}\\\
&&+\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \sum_{s=x_r-x}^{\omega-x} R(x+s, t+s)p(x, x+s)\frac{1}{(1+i)^s}\\
&&-\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \sum_{s=0}^{x_r-x-1} S(x+s, t+s)p(x, x+s)\frac{1}{(1+i)^s}.
\end{eqnarray}$$
۳. بدهی در یک نظام باز بر روی یک افق زمانی متناهی: ما تمام نسل‌های موجود و آتی را در نظر می‌گیریم و پیش‌بینی مستمری‌های آتی و مشارکت‌ها را انجام می‌دهیم، اما خود را به یک افق زمانی مشخص با طول $T$ محدود می‌کنیم:
$$
\begin{eqnarray}
V(t)&=&\sum_{s=0}^{T}\sum_{x=x_r}^{\omega}R(x, t+s)L(x, t+s)\frac{1}{(1+i)^s}\\\
&&-\pi
\sum_{s=0}^{T}
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}
S(x, t+s)L(x, t+s)\frac{1}{(1+i)^s}.
\end{eqnarray}
$$
۴. بدهی در یک نظام باز بر روی یک افق زمانی نامتناهی: ما تمام نسل‌های موجود و آتی را بر روی یک افق نامتناهی در نظر می‌گیریم، بدون هیچ محدودیت زمانی:
$$
\begin{eqnarray}
V(t)&=&\sum_{s=0}^{\infty}
\sum_{x=x_r}^{\omega}R(x, t+s)L(x, t+s)\frac{1}{(1+i)^s}\\
-&&\pi
\sum_{s=0}^{\infty}
\sum_{x=x_0}^{x_r-1}
S(x, t+s)L(x, t+s)\frac{1}{(1+i)^s}.
\end{eqnarray}
$$
روش‌های ۳ و ۴ در یک نظام باز، بدیهی است که مستلزم مفروضاتی درباره نوسازی جمعیت هستند؛ روش‌های ۱ و ۲ بر جمعیتی استوارند که در زمان انجام محاسبه وجود دارد. باید توجه داشت که در حالت تأمین مالی، محاسبه ذخایر معمولاً بر مبنای فلسفه روش ۲ انجام می‌شود (ارزش‌های جاری جریان‌های آتی مستمری‌ها و مشارکت‌ها برای جمعیتی که در تاریخ ارزش‌گذاری وجود دارند). در نظام پرداخت جاری، با توجه به فرض ضمنی همبستگی میان نسل‌های متوالی، روش ۴ با افق نامتناهی مناسب‌ترین گزینه به نظر می‌رسد. در عمل، افق زمانی محدود می‌شود و از روش ۳ استفاده می‌گردد (پیش‌بینی طرح بر روی یک افق زمانی آتی معین).
در روش‌های ۳ و ۴، گفته می‌شود که نظام در تعادل قرار دارد اگر $V(t)$ برابر صفر باشد؛ اگر این ذخیره به طور دقیق مثبت باشد، از بدهی ضمنی سخن می‌گوییم. برخی کشورها، مانند سوئد، همچنین از روش ۲ برای ارزیابی تعادل نظام استفاده می‌کنند تا بتوانند یک ترازنامه بیم‌سنجی برقرار سازند، همانند حالت تأمین مالی. بخش‌های 6.9.2 و 6.9.3 در ادامه منطق مورد استفاده در این زمینه را توضیح می‌دهند.
۶.۹.۲ ترازنامه یک نظام بسته
در حالی که مفهوم ترازنامه اکچوئری در یک محیط تأمین مالی امری طبیعی است (مقایسه بین ارزش بازاری دارایی‌های مالی و ارزش تنزیل‌شده بدهی‌ها)، ممکن است در یک بستر پرداخت جاری (Pay-As-You-Go) که دقیقاً با فقدان صندوق‌های مالی مشخص می‌شود (یا با وجود یک «ذخیرهٔ حائل» باقی‌مانده)، درک آن دشوارتر به نظر برسد.
(الف) سیستم ذخیره کامل
| دارایی‌ها (Assets) | بدهی‌ها (Liabilities) |
|---|---|
| دارایی‌های مالی (Financial Assets) | ذخایر بازنشستگان (Provisions for retirees) |
| ذخایر مشارکت‌کنندگان (Provisions for contributors) |
(ب) سیستم پرداخت جاری خالص (PAYG)
| دارایی‌ها (Assets) | بدهی‌ها (Liabilities) |
|---|---|
| دارایی مشارکتی (Contribution Asset) | ذخایر بازنشستگان (Provisions for retirees) |
| ذخایر مشارکت‌کنندگان (Provisions for contributors) |
(ج) سیستم ترکیبی با صندوق نوسان‌گیری
| دارایی‌ها (Assets) | بدهی‌ها (Liabilities) |
|---|---|
| دارایی مشارکتی (Contribution Asset) | ذخایر بازنشستگان (Provisions for retirees) |
| صندوق نوسان‌گیری (Buffer Fund) | ذخایر مشارکت‌کنندگان (Provisions for contributors) |
جدول 6.3 ترازنامه برای گونه‌های مختلف طرح‌های بازنشستگی
با این حال، پایش توانگری یک نظام بازنشستگی پرداخت جاری (Pay-As-You-Go) به همان شیوه‌ای که در یک نظام تأمین مالی انجام می‌شود و امکان شناسایی عدم‌تعادل‌ها، به همان اندازه ضروری است. یکی از راه‌های سازگار کردن ترازنامه یک طرح با وضعیت پرداخت جاری، زمانی که در یک نظام بسته عمل می‌کنیم (نگاه کنید به روش 2 در بخش 6.9.1)، افزودن یک قلم در سمت دارایی‌هاست که دقیقاً بدهی‌ها را در حالتی که طرح در تعادل بلندمدت قرار دارد، خنثی می‌کند (قلمی در ترازنامه که گاهی «دارایی مشارکتی» نامیده می‌شود).
در یک طرح تأمین مالی‌شده، ترازنامه یک نظام بازنشستگی شکل کلاسیکی دارد که در جدول 6.3(الف) نشان داده شده است. در یک طرح پرداخت جاری بدون منابع اولیه، ترازنامه صندوق بازنشستگی به شکلی که در جدول 6.3(ب) آمده است تبدیل می‌شود. زمانی که علاوه بر نظام پرداخت جاری، یک صندوق حائل نیز وجود داشته باشد، ترازنامه به صورت ارائه‌شده در جدول 6.3(ج) در می‌آید.
برای به‌دست آوردن ارزش دارایی مشارکتی، یک رژیم حساب اسمی در حالت پایدار را بر مبنای مدل کانونی در نظر می‌گیریم (نگاه کنید به بخش 6.5) و ذخایر متناظر نظام بسته را محاسبه می‌کنیم. بنابراین، فرض می‌کنیم:
- جمعیتی که تحول آن به‌صورت زیر داده می‌شود:
– پیش از سن بازنشستگی:
$$
L(x,t)=L_0(1+d)^{\,t-(x-x_0)}
\quad
(x_0 \le x \le x_r)
$$
– پس از سن بازنشستگی:
$$
L(x,t)=L_0(1+d)^{\,t-(x-x_0)}\,p(x_r,x)
\quad
(x>x_r)
$$
- یک دستمزد متوسط در سن $x$ و زمان $t$ که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
$$
S(x,t)=S_0(1+g)^t\,\Psi(x)=S_f(t)\,\Psi(x)
$$
(با قرارداد $\Psi(x_r-1)\text{=1}$)
- یک نرخ فرضی $r$ که توسط رابطه زیر داده می‌شود:
$$ 1 + r = (1 + d)(1 + g), $$
- یک مستمری حساب فرضی که در مدل کانونیکال (متعارف) به صورت زیر داده می‌شود (نگاه کنید به (6.16)):
$$ R(t) = \frac{\pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} S_f(t) \frac{1}{(1+d)^{x-x_r}} \Psi(x)}{\sum_{x=x_r}^{\omega} p(x_r, x) \frac{1}{(1+d)^{x-x_r}}}. $$
بیایید ارزش تنزیل‌شده تعهدات آتی را محاسبه کنیم. تمام این مقادیر تنزیل‌شده در اینجا با استفاده از نرخ تنزیلی برابر با نرخ فرضی $r$ که در محاسبات مزایا استفاده شده است، محاسبه خواهند شد.
ارزش کل تعهدات، که به روش آینده‌نگر (prospectively) محاسبه خواهد شد، می‌تواند به دو بخش تفکیک شود: بخشی که مربوط به اعضای قبلاً بازنشسته‌شده است و بخشی که مربوط به اعضایی است که هنوز مشارکت می‌کنند (مقایسه کنید با رابطه (4.7)):
$$ V(t) = V_r(t) + V_a(t). $$
۱. ارزش فعلی تعهدات بازنشستگان:
$V_r(t) :$ ارزش تنزیل شده مزایای آتی اعضایی که در زمان $t$ قبلاً بازنشسته شده‌اند.
$$\begin{aligned}
V_r(t) &=R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} \sum_{s=0}^{\omega-x} L(x+s, t+s) \frac{(1+g)^s}{(1+r)^s} \\\
&= R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t) \left( \sum_{s=0}^{\omega-x} p(x, x+s) \frac{1}{(1+d)^s} \right) \\
&= R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t) \ddot{a}_x.
\end{aligned}$$
توجه داشته باشید که این ذخیره کلی طرح می‌تواند به عنوان تابعی از مجموع ذخایر انفرادی که معادل ارزش حساب فرضی هر بازنشسته است (دیدگاه گذشته‌نگر)، بیان شود:
$$ V_r(t) = \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t) (R(t) \ddot{a}_x) = \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t) NC(x, t), $$
که در آن $NC(x, t)$ = حساب فرضی یک بازنشسته با سن $x$ در زمان $t$ است.
۲. ارزش فعلی تعهدات مشارکت‌کنندگان:
$$
\begin{aligned}
V_a(t) &= V_a^1(t) – V_a^2(t) \
\end{aligned}
$$
به عبارتی $V_a(t)$ برابر است با:
ارزش تنزیل شده‌ی مزایای آتی اعضای فعال در زمان $t$ منهای
ارزش تنزیل شده‌ی مشارکت‌های آتی این اعضای فعال.
ابتدا، بیایید ارزش تنزیل‌شده مزایای آتی را محاسبه کنیم:
$$
\begin{aligned}
V_a^1(t) &= \sum_{x=x_0}^{x_r-1} R(t)(1+g)^{x_r-x} \left( \sum_{s=x_r-x}^{\omega-x} \left( L(x+s, t+s) \frac{(1+g)^{s-(x_r-x)}}{(1+r)^s} \right) \right) \\
&= R(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \left( \sum_{s=x_r-x}^{\omega-x} p(x, x+s) \frac{1}{(1+d)^s} \right) \\
&= R(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \frac{1}{(1+d)^{x_r-x}} \ddot{a}_{x_r}.
\end{aligned}
$$
سپس، بیایید ارزش تنزیل‌شده مشارکت‌های آتی را محاسبه کنیم:
$$
\begin{aligned}
V_a^2(t) &= \pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} \sum_{s=0}^{x_r-x-1} L(x+s, t+s) S(x+s, t+s) \frac{1}{(1+r)^s} \\
&= \pi S_f(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \left( \sum_{s=0}^{x_r-x-1} \Psi(x+s) \frac{1}{(1+d)^s} \right).
\end{aligned}
$$
بنابراین، ذخیره اعضای فعال در مجموع به صورت زیر داده می‌شود:
$$
\begin{eqnarray}
V_a(t)=& R(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \frac{1}{(1+d)^{x_r-x}} \ddot{a}_{x_r}\\
&- \pi S_f(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \left( \sum_{s=0}^{x_r-x-1} \Psi(x+s) \frac{1}{(1+d)^s} \right) \\
=& \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \left \{ R(t) \ddot{a}_{x_r} \frac{1}{(1+d)^{x_r-x}}- \pi S_f(t) \sum_{s=0}^{x_r-x-1} \Psi(x+s) \frac{1}{(1+d)^s} \right \} \\
=& \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) NC(x, t),
\end{eqnarray}
$$
که در آن $NC(x, t)$ حساب فرضی یک عضو فعال با سن $x$ در زمان $t$ است.
۳. ذخیره کل:
$$
\begin{aligned}
V(t) &= R(t) \left( \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)\ddot{a}_x + \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \frac{1}{(1+d)^{x_r-x}} \ddot{a}_{x_r} \right) \\ &\quad – \pi S_f(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \left( \sum_{s=0}^{x_r-x-1} \Psi(x+s) \frac{1}{(1+d)^s} \right) \\
&= \sum_{x=x_0}^{\infty} L(x, t)NC(x, t).
\end{aligned}
$$
۶.۹.۳ دارایی مشارکتی و مدت گردش مالی
در حالت ایستا، دارایی مشارکتی باید با ارزش ذخایر مطابقت داشته باشد. برخلاف روش اندوخته‌گذاری (funding)، هیچ دارایی مالی برای پوشش این بدهی‌ها وجود ندارد. در منطق پرداخت جاری (Pay-As-You-Go)، طبیعی به نظر می‌رسد که در نظر بگیریم ثروت طرح مبتنی بر مشارکت‌های آتی است. در واقع، بنا به تعریف پرداخت جاری، تأمین مالی وعده‌های بازنشستگی، به ویژه در رابطه با بازنشستگان فعلی، توسط مشارکت‌های آتی جمعیت فعال محقق خواهد شد؛ بنابراین گروه اخیر (جمعیت فعال) برای پوشش بدهی‌های آتی خدمت می‌کنند.
بنابراین ما پیشنهاد می‌کنیم که دارایی مشارکتی را، که با $CA$ نشان داده می‌شود، به عنوان ضریبی $M(t)$ از کل مشارکت‌های پرداخت شده در آن سال، که با $C(t)$ نشان داده می‌شود، بیان کنیم:
$$ CA(t) = M(t)C(t). $$
پس بیایید نسبت بین ذخیره کلی و مجموع مشارکت‌های انجام شده در یک سال را محاسبه کنیم.
$$ M(t) = \frac{V(t)}{C(t)} = \frac{V_r(t)}{C(t)} + \frac{V_a(t)}{C(t)} = t_r(t) + t_a(t). $$
مبلغ کل مشارکت‌های انجام شده در زمان $t$ توسط رابطه زیر داده می‌شود:
$$ C(t) = \pi \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)S(x, t) = \pi S_f(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x). $$
بر اساس تعادل بیم‌سنجی، مشارکت‌ها همچنین با مزایای پرداخت شده در یک سال مطابقت دارند:
$$ C(t) = R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t). $$
سپس موارد زیر را به دست می‌آوریم:
۱. برای محاسبه نسبت مربوط به بازنشستگان:
$$
\begin{aligned}
t_r(t) &= \frac{V_r(t)}{C(t)} = \frac{R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)\ddot{a}_x}{R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} \\
&= \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t) \left( \sum_{j=x}^{\omega} \frac{L(j, t+j-x)}{L(x, t)} \frac{1}{(1+d)^{j-x}} \right)}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} \\
&= \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} \sum_{r=x}^{\omega} L(j, t+j-x) \frac{1}{(1+d)^{j-x}}}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} \\
&= \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} \sum_{j=x}^{\omega} L(j, t)}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} = \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)(x – x_r + 1)}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} \\
&= \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)x}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} – x_r + 1.
\end{aligned}
$$
عبارت
$$ \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)x}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} $$
نشان‌دهنده میانگین سنی بازنشستگان است. بنابراین، نسبت مربوط به بازنشستگان را می‌توان برای یک عضو، برابر با میانگین تعداد مستمری‌های بازنشستگی تفسیر کرد که از سن بازنشستگی او پرداخت شده است.
۲. برای محاسبه نسبت مربوط به مشارکت‌کنندگان فعال:
$$ t_a(t) = \frac{V_a(t)}{C(t)} = \frac{V_a^1(t) – V_a^2(t)}{C(t)}. $$
ما به صورت متوالی داریم:
$$
\begin{aligned}
\frac{V_a^1(t)}{C(t)} &= \frac{R(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \frac{1}{(1+d)^{x_r-x}\ddot{a}_{x_r}} }{R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} \\
&= \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \frac{1}{(1+d)^{x_r-x}} \sum_{j=x_r}^{\omega} \frac{L(j, t+j-x)}{L(x_r, t+x_r-x)} \frac{1}{(1+d)^{j-x_r}}}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} \\
&= \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} \sum_{j=x_r}^{\omega} L(j, t+j-x) \frac{1}{(1+d)^{j-x}}}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} = \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} \sum_{j=x_r}^{\omega} L(j, t)}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} \\
&= x_r – x_0,
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{V_a^2(t)}{C(t)} &= \frac{\pi S_f(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t) \left( \sum_{s=0}^{x_r-x-1} \Psi(x+s) \frac{1}{(1+d)^s} \right)}{\pi S(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x)} \\
&= \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} \sum_{s=0}^{x_r-x-1} L(x+s, t)\Psi(x+s)}{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x)} \\
&= \frac{\sum_{y=x_0}^{x_r-1} \sum_{s=0}^{y-x_0} L(y, t)\Psi(y)}{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x)} = \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} (x – x_0 + 1) L(x, t)\Psi(x)}{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x)}.
\end{aligned}
$$
بنابراین نسبت مربوط به مشارکت‌کنندگان توسط رابطه زیر داده می‌شود:
$$ t_a(t) = \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} (x_r – x – 1) L(x, t)\Psi(x)}{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x)}. $$
عبارت
$$ \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} x L(x, t)\Psi(x)}{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x)} $$
نشان‌دهنده میانگین سنی مشارکت‌کنندگان فعال است که با سطح حقوق وزن‌دهی شده است. بنابراین، نسبت مربوط به مشارکت‌کنندگان را می‌توان به صورت برابر با میانگین وزنی تعداد مشارکت‌های انجام شده در طول دوره فعالیت شغلی هر عضو تفسیر کرد.
در نهایت، نسبت ذخایر به مشارکت‌ها را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$$ M(t) = t_r(t) + t_a(t) = \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)x}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)} – \frac{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} x L(x, t)\Psi(x)}{\sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)\Psi(x)} = TD(t). $$
این ضریب، که با $TD$ نشان داده می‌شود، مدت گردش مالی نامیده می‌شود: این مقدار برابر است با تفاوت بین میانگین سن دریافت مزایا و میانگین سن پرداخت مشارکت. این ضریب را می‌توان به عنوان میانگین مدت زمانی به ازای هر عضو تفسیر کرد که مشارکت‌ها قبل از پرداخت شدن، نگهداری می‌شوند.
این امر به ما اجازه می‌دهد تا دارایی مشارکت را به عنوان حاصل‌ضرب کل مشارکت‌های یک سال و مدت گردش مالی تعریف کنیم:
$$ CA(t) = TD(t)C(t). $$
بنابراین دارایی مشارکت معادل یک «دارایی مجازی» از طرح پرداخت جاری (Pay-As-You-Go) است که باید به ترازنامه بیم‌سنجی اضافه شود تا یک ترازنامه بیم‌سنجی از طرح در یک سیستم بسته ایجاد شود.
سپس تعادل بیم‌سنجی یک طرح پرداخت جاری می‌تواند در یک سیستم بسته مورد بررسی قرار گیرد و در صورت لزوم مکانیسم‌های تعدیل خودکار بر این اساس ایجاد شود.