زندگی، امری نامطمئن است. ما به‌ندرت می‌توانیم مطمئن باشیم که برنامه‌هایمان همانطور که در نظر داریم پیش خواهند رفت، و بنابراین از سنین پایین شرطی می‌شویم تا بر اساس احتمال وقوع رخدادهای معین، و اینکه کدام‌یک «محتمل‌تر» از دیگری است، فکر کنیم. تبدیل این توصیف مبهم به یک مدل احتمال، به منزله‌ی ساختن یک چارچوب منطقی برای اندیشیدن درباره‌ی عدم قطعیت است. این چارچوب باید عمومی باشد، به گونه‌ای که ما را قادر سازد تا هم موقعیت‌هایی را که در آن باید حجم زیادی از اطلاعات پیشین را غربال کنیم، و هم آن‌هایی را که اطلاعات چندانی برای تصمیم‌گیری نداریم، به یک شکل مدیریت کنیم. در همه‌ی موارد به میزانی از قضاوت نیاز است؛ اما ما به دنبال یک چارچوب نظری و روش‌شناسی منظم هستیم که ما را قادر سازد قوانین کلی را در قالب عبارات کمّی فرمول‌بندی کنیم.
این ما را به سوی مدل‌های ریاضی برای احتمال رهنمون می‌شود؛ یعنی، انتزاع‌های ایده‌آل‌شده‌ای از رویه‌ی تجربی، که با این وجود باید معیارهای کاربرد گسترده، دقت و سادگی را برآورده سازند. در این کتاب، دغدغه‌ی ما ساخت و استفاده از مدل‌های احتمال عموماً کاربردی خواهد بود که در آن‌ها بتوانیم فضاهای نمونه‌ی نامتناهی و دنباله‌های نامتناهی از آزمایش‌ها را نیز در نظر بگیریم. اینکه چنین مدل‌هایی مورد نیاز هستند، زمانی به سادگی قابل مشاهده است که فرد تلاش می‌کند مفاهیم ظاهراً ساده‌ای مانند «انتخاب یک عدد به تصادف از بازه‌ی [0,1]» را معنا کند و یا رفتار حدی یک دنباله از آزمایش‌های یکسان را درک نماید. درست همانطور که احتمال‌های مقدماتی با یافتن اندازه‌های نسبی مجموعه‌های برآمدها محاسبه می‌شوند، درخواهیم یافت که مسئله‌ی بنیادینی که باید حل شود، اندازه‌گیری «اندازه»ی یک مجموعه با بی‌نهایت عضو است. دست‌کم برای مجموعه‌های روی خط اعداد حقیقی، ایده‌های آنالیز حقیقی پایه، پاسخی قانع‌کننده برای ما فراهم می‌کنند، و این پاسخ، تمام ایده‌های مورد نیاز برای چارچوب بدیهی مجردی را که نظریه احتمال بر آن بنا نهاده می‌شود، در بر دارد. به همین دلیل، توسعه‌ی مفهوم «اندازه» (measure)، و به طور خاص «اندازه‌ی لبگ» (Lebesgue measure) بر روی ℝ، در این کتاب جایگاهی ویژه دارد.
نمادگذاری و نظریه پایه‌ای مجموعه‌ها
در نظریه اندازه، ما معمولاً با خانواده‌هایی از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی دلخواهِ معین سروکار داریم و توابعی را در نظر می‌گیریم که به مجموعه‌های متعلق به این خانواده‌ها، اعداد حقیقی نسبت می‌دهند. بنابراین، نیاز داریم برخی نمادگذاری‌های پایه‌ای و عملیات روی مجموعه‌ها را مرور کنیم، و همچنین به بحث درباره‌ی تمایز میان مجموعه‌های نامتناهی شمارا (countably) و ناشمارا (uncountably)، با ارجاع ویژه به زیرمجموعه‌های خط اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ بپردازیم. ما همچنین به مفاهیمی از آنالیز مانند حدهای دنباله‌ها، سری‌ها، و مجموعه‌های باز نیاز خواهیم داشت. فرض بر این است که خوانندگان تا حد زیادی با این مطالب آشنا هستند و بنابراین می‌توانند به سرعت از این بخش عبور کنند؛ این بخش به منظور معرفی نمادگذاری و همچنین برای اینکه متن به طور معقولی خودکفا (self-contained) باشد و در نتیجه برای خودآموزی مفید واقع شود، گنجانده شده است. بحث کاملاً غیررسمی باقی می‌ماند و به مسائل بنیادین ارجاعی داده نمی‌شود، و خواننده برای اکثر اثبات‌ها به متون پایه‌ای آنالیز ارجاع داده می‌شود. در اینجا ما تنها به دو کتاب درسی مقدماتی اشاره می‌کنیم: [۸] و [۱۱].
مجموعه‌ها و توابع
در عملیات خود با مجموعه‌ها، ما همواره با گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی جهانی (universal set) $\Omega$ سروکار خواهیم داشت؛ ماهیت این مجموعه از زمینه بحث مشخص خواهد بود – غالباً $\Omega$ مجموعه‌ی اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ یا زیرمجموعه‌ای از آن خواهد بود. ما مفهوم «مجموعه» را به عنوان یک مفهوم تعریف‌نشده و بدیهی در نظر می‌گیریم و تنها به عضویت در مجموعه و عملیات روی آن می‌پردازیم. مجموعه‌ی تهی با $\emptyset$ نمایش داده می‌شود؛ این مجموعه هیچ عضوی ندارد. مجموعه‌ها عموماً با حروف بزرگ نمایش داده می‌شوند.
عضویت در مجموعه با $\in$ نشان داده می‌شود، بنابراین $x \in A$ به این معناست که عنصر $x$ عضوی از مجموعه‌ی $A$ است. شمول مجموعه (set inclusion)، $A \subset B$، به این معناست که هر عضو $A$ عضوی از $B$ نیز هست. اگر $A \subset B$ و $B \subset A$ هر دو برقرار باشند، آنگاه مجموعه‌های $A$ و $B$ برابر (equal) هستند و می‌نویسیم $A=B$. اگر $A \subset B$ اما $A \neq B$ باشد، می‌گوییم $A$ یک زیرمجموعه‌ی سره (proper subset) از $B$ است.
اجتماع (union) مجموعه‌های $A$ و $B$ به صورت $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ or } x \in B\}$ تعریف می‌شود، در حالی که اشتراک (intersection) آن‌ها $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ and } x \in B\}$ است. تفاضل (difference) $A$ و $B$ برابر است با $A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}$. متمم (complement) مجموعه‌ی $A$ (نسبت به مجموعه‌ی جهانی $\Omega$) عبارت است از $A^c = \Omega \setminus A$. اگر $A \cap B = \emptyset$ باشد، آنگاه $A$ و $B$ مجزا (disjoint) هستند. یک خانواده از مجموعه‌ها $(A_\alpha)_{\alpha \in A}$ دو به دو مجزا (pairwise disjoint) است اگر برای هر $\alpha \neq \beta$ ($\alpha, \beta \in A$) داشته باشیم $A_\alpha \cap A_\beta = \emptyset$.
حاصلضرب دکارتی (Cartesian product) $A \times B$ از مجموعه‌های $A$ و $B$، مجموعه‌ی زوج‌های مرتب $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$ است. همانطور که قبلاً اشاره شد، ما از $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ به ترتیب برای دستگاه‌های عددی پایه‌ای اعداد طبیعی، صحیح، گویا و حقیقی استفاده می‌کنیم. بازه‌ها در $\mathbb{R}$ از طریق نقاط انتهایی‌شان نمایش داده می‌شوند، به طوری که کروشه نشان‌دهنده‌ی بسته‌بودن و پرانتز نشان‌دهنده‌ی بازبودن آن نقطه است، برای مثال $[a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x < b\}$. ما از $\infty$ و $-\infty$ برای توصیف بازه‌های نامحدود استفاده می‌کنیم، برای مثال $(-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}$ و $[0, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 0\} = \mathbb{R}^+$. مجموعه‌ی $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ نشان‌دهنده‌ی صفحه است؛ به طور کلی‌تر، $\mathbb{R}^n$ حاصلضرب دکارتی $n$-تایی $\mathbb{R}$ با خودش است، یعنی مجموعه‌ی تمام $n$-تایی‌های $(x_1, \dots, x_n)$ که از اعداد حقیقی تشکیل شده‌اند. حاصلضرب بازه‌ها که مستطیل (rectangles) نامیده می‌شوند، به طور مشابه نمایش داده می‌شوند.
به طور رسمی، یک تابع (function) $f: A \to B$ زیرمجموعه‌ای از $A \times B$ است که در آن هر مؤلفه‌ی اول، مؤلفه‌ی دوم را مشخص می‌کند: اگر $(a, b), (a, c) \in f$ آنگاه $b=c$. دامنه‌ی (domain) آن $\mathcal{D}_f = \{a \in A \mid \exists b \in B, (a, b) \in f\}$ و بُرد (range) آن $\mathcal{R}_f = \{b \in B \mid \exists a \in A, (a, b) \in f\}$ دامنه‌ی فعالیت آن را توصیف می‌کنند. به طور غیررسمی، $f$ به هر عنصر $a \in \mathcal{D}_f$ یک عنصر منحصر به فرد $b \in \mathcal{R}_f$ را نظیر می‌کند و ما می‌نویسیم $f(a)=b$. اگر $\mathcal{D}_f=A$ باشد، می‌گوییم $f$ از (from) $A$ به (to) $B$ است. اگر $\mathcal{R}_f=B$ باشد، $f$ پوشا (surjective) یا پوشا (onto) نامیده می‌شود. اگر برای هر $b \in \mathcal{R}_f$ تنها یک $a \in \mathcal{D}_f$ وجود داشته باشد که $f(a)=b$، آنگاه $f$ یک به یک (injective) یا یک به یک (one-one) است. تابعی که هم پوشا و هم یک به یک باشد، دوسویه (bijective) نامیده می‌شود.
اگر $f: A \to B$ و $C \subset A$ باشد، تصویر (image) $C$ تحت $f$ عبارت است از $f(C) = \{f(x) \mid x \in C\}$. اگر $D \subset B$ باشد، تصویر معکوس (inverse image) $D$ عبارت است از $f^{-1}(D) = \{x \in A \mid f(x) \in D\}$. توجه داشته باشید که نماد $f^{-1}$ در اینجا به معنای وجود تابع معکوس برای $f$ نیست.
یک رابطه‌ی هم‌ارزی (equivalence relation) روی مجموعه‌ی $E$، که با $\sim$ نمایش داده می‌شود، رابطه‌ای است که برای هر $x, y, z \in E$ دارای خواص زیر است:
(i) بازتابی (reflexive): $x \sim x$
(ii) تقارنی (symmetric): اگر $x \sim y$ آنگاه $y \sim x$
(iii) تعدی (transitive): اگر $x \sim y$ و $y \sim z$ آنگاه $x \sim z$
برای هر $x \in E$، کلاس هم‌ارزی (equivalence class) $[x]$ از $x$، مجموعه‌ی تمام عناصری از $E$ است که با $x$ هم‌ارز هستند. بنابراین $x \in [x]$، و در نتیجه $E = \bigcup_{x \in E} [x]$. این یک اجتماع مجزا است: اگر $[x] \cap [y] \neq \emptyset$، آنگاه یک $z \in E$ وجود دارد که $x \sim z$ و $z \sim y$، و در نتیجه $x \sim y$، به طوری که $[x] = [y]$. ما مجموعه‌ی تمام کلاس‌های هم‌ارزی به دست آمده را با $E/\!\sim$ نمایش خواهیم داد.