فصل یازدهم: روش‌های تأمین مالی جمعی (نظریه تأمین مالی بیم‌سنجی مستمری)

نظریه تأمین مالی بیم‌سنجی مستمری
بخش سوم: طرح‌های بازنشستگی با تأمین مالی کامل

چکیده
این فصل به تحلیل روش‌های تأمین مالی جمعی اختصاص دارد. پس از یادآوری ویژگی‌های بنیادی آن‌ها، روش‌های همسطح‌سازی (بر اساس فلسفه‌ای مشابه با روش‌های مطرح‌شده در فصل 5 در زمینه \lr{Pay-As-You-Go}) و روش‌های خالص تأمین مالی جمعی توضیح داده می‌شوند.

11.1 اصول کلی تأمین مالی جمعی

همان‌طور که در فصل 10 دیده شد، ما یک طرح مستمری با مزایای تعریف‌شده (Defined Benefit) را در نظر می‌گیریم که در لایه دوم سازماندهی شده است، اما این‌بار به‌صورت جمعی تأمین مالی می‌شود.
بنابراین دیگر تفکیک عناصر ذخایر و مشارکت‌ها به‌صورت فردی وجود ندارد و نگاه کلی در سطح کل گروه وابستگان اعمال می‌شود. تأمین مالی در روحیه‌ای از همبستگی درون این گروه انجام می‌گیرد، بدون جستجوی تراز برای هر فرد.
هدف اصلی روش‌های تأمین مالی جمعی ارائه تأمین کلی برای طرح است به‌گونه‌ای که پایداری مشخصی در طول زمان حفظ شود. برای مثال، مطلوب است که نرخ مشارکت، تعریف‌شده به‌عنوان نسبت کل مشارکت‌ها در هر سال به کل مزد مشمول، تا حد امکان در طول زمان ثابت بماند. این ملاحظه منجر به آن می‌شود که روش‌های اصلی تأمین مالی جمعی که در عمل استفاده می‌شوند از نوع روش‌های پیش بینی شده» (Projected) باشند.
در میان این تکنیک‌های جمعی می‌توان دو فلسفهٔ عمده را متمایز کرد: روش‌های همسطح‌سازی (Leveling methods) و روش‌های خالص تأمین مالی جمعی (Pure collective funding methods).
روش‌های همسطح‌سازی معمولاً در دو مرحله کار می‌کنند. ابتدا هزینه‌های مورد پیش‌بینی طرح در یک افق زمانی معین با استفاده از یک روش فردی محاسبه می‌شود. در مرحله دوم، هزینه‌های کلی به‌دست‌آمده در این مسیر همسطح می‌شوند. این روش مشابه روش همسطح‌سازی و برابرسازی صندوق‌هایی است که در فصل 5 دیده شد. عنصر زیربنایی این‌بار دیگر پرداخت‌های \lr{Pay-As-You-Go} نیست، بلکه مشارکت‌های تأمین مالی‌شده به‌صورت فردی می‌باشد.
روش‌های خالص تأمین مالی جمعی از طرفی به یک روش فردی متکی نیستند بلکه کل گروه وابستگان را به‌صورت یکپارچه مدل می‌کنند. در این خانواده، تمایز بین روش‌های عمده بیشتر به نحوه‌ای برمی‌گردد که بدهی‌های گذشته در زمان ایجاد طرح تامین می‌شوند.

جدول 11.1: مرور روش‌های خالص تأمین مالی جمعی

پیش بینی شده
مقادیر پایدارAggregate Cost (AGC)
مقادیر پایدار با استهلاک صریح خدمات گذشتهAttained Age Normal (خدمات گذشته به‌ارزش اعتبار واحد) (AAN)
Frozen Initial Liability (خدمات گذشته به‌ارزش سن ورود) (FIL)

همان‌طور که در تأمین مالی فردی مشاهده شد، برخی روش‌ها این خدمات گذشته را به‌صورت جداگانه تأمین می‌کنند. جدول 11.1 وضعیت‌های مختلف را خلاصه می‌کند.
برای نشان‌دادن این تکنیک‌ها، ما طرح مستمری استاندارد توصیف‌شده در بخش 10.1 را در نظر می‌گیریم، که از سن 60 سال مستمری‌ای برابر با 50٪ آخرین مزد سالانه کاری برای یک سابقه کاری کامل 40 ساله فراهم می‌کند.

11.2 تکنیک‌های همسطح‌سازی

تکنیک‌های همسطح‌سازی بر روی یک ساختار تأمین مالی طرح بازنشستگی با دو طبقه (two-floor) استوارند. ابتدا، یک روش تأمین مالی فردی معین برای حساب‌های فردی اعمال می‌شود. دوم، هزینه‌های کلی حاصل از طبقهٔ اول همسطح می‌شوند و یک صندوق همسطح‌سازی، که به‌عنوان صندوق مالی یا بافر شناخته می‌شود، آن را تامین می‌کند.
رویهٔ محاسبه از سه مرحله تشکیل شده است:

  1. اعمال روش فردی انتخاب‌شده برای سال اول،
  2. پیش بینی بر روی تعداد ثابتی از سال‌ها از این روش فردی با استفاده از
    • مفروضات مالی:
      • رشد مزد،
      • نرخ تنزیل،
    • مفروضات جمعیتی:
      • خروج‌ها (مرگ، استعفا، بازنشستگی‌ها)،
      • ورودها (جایگزین‌های احتمالی)،
  3. همسطح‌سازی این هزینه‌ها.
    مثال زیر روش انجام‌گرفته برای طرح مستمری استاندارد ما را توصیف می‌کند:
    $$\begin{aligned}\text{مستمری} &= \frac{\mathrm{N}}{40}\; 50\%\; S_{\mathrm{final}}\end{aligned}$$

که در آن اعضای مجموعه ${ \mathcal{J} = {1,2,\dots,K} }$ کلیه وابستگان حاضر در ${t=0}$ را نشان می‌دهند. ما فرض می‌کنیم که خدمات گذشته (تأمین‌شده قبل از ${t=0}$ ) در این طرح منظور نشده‌اند. روش هزینه اعتبار واحد (Credit Cost Method) به عنوان مثالی از روش مبنای انفرادی (Individual Underlying Method) انتخاب شده است. ما با $x_j$ سن اولیه در ${t=0}$ برای فرد $j$ و با $S_j(0)$ حقوق اولیه او را نشان می‌دهیم.

گام اول: محاسبه هزینه‌های متعارف انفرادی سال اول

با نشان دادن هزینه متعارف برای عضو (affiliate) $j$ در ${t=0}$ با $NC_j(0)$، در روش اعتبار واحد (Unit Credit) به دست می‌آوریم (ر.ک. معادله (10.2)):

$$
NC_j(0) = \frac{1}{40} 50\% S_j(0) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_j}E_{x_j}
$$

با جمع‌بندی روی تمام اعضا، هزینه تامین مالی انفرادی کل را به دست می‌آوریم:

$$
NC(0) = \sum_{j \in \mathcal{J}} NC_j(0).
$$

گام دوم: برآورد در طی $T$ سال (معمولاً $T$ بین ۱۰ تا ۲۰ سال)

هزینه سالانه آتی برای هر فرد حاضر در ${t=0}$ برآورد می‌شود. این برآورد زمانی متوقف می‌شود که فرد به سن بازنشستگی برسد:

$$
NC_j^*(t) = \begin{cases} \left[ \frac{1}{40} 50\% S_j^*(t) + \frac{t}{40} 50\% \left( S_j^*(t) – S_j^*(t-1) \right) \right] \\
\quad \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_j-t}E_{x_j+t} & \text{if } x_j + t < 60 \\
0 & \text{if } x_j + t \ge 60
\end{cases}
$$

(در اینجا فرض شده است که هیچ جایگزینی وجود ندارد).
برای حقوق برآورد شده $S_j^*(t)$، برای مثال می‌توانیم از یک تصاعد هندسی استفاده کنیم:

$$
S_j^*(t) = S_j(0) \cdot (1+g)^t.
$$

گام سوم: هموارسازی در طی $T$ سال

بردار هزینه متعارف متغیر از گام دوم با یک تامین مالی باثبات به عنوان درصدی از کل حقوق جایگزین می‌شود. این کار احتمالات بقای اعضا را در نظر می‌گیرد.

برای یک صندوق هموارسازی اولیه صفر (${F(0) = 0}$)، نرخ هموارسازی $\tau$ راه حل معادله تعادل بیم‌سنجی (Actuarial Equivalence Equation) خواهد بود:

$$
\sum_{t=0}^{T-1} \sum_{j \in \mathcal{J}} NC_j^*(t) \cdot \frac{1}{(1+i)^t} \cdot \frac{\ell_{x_j+t}}{\ell_{x_j}} = \sum_{t=0}^{T-1} \sum_{j \in \mathcal{J}} \tau \cdot S_j^*(t) \cdot \frac{1}{(1+i)^t} \cdot \frac{\ell_{x_j+t}}{\ell_{x_j}},
$$

که در آن $\ell_x$ یک جدول عمر داده شده است. نرخ $\tau$ نه به زمان بستگی دارد (الزام ثبات زمانی) و نه به افراد (مرحله تامین مالی جمعی).

بنابراین راه حل برابر است با:

$$
\tau = \frac{\sum_{t=0}^{T-1} \sum_{j \in \mathcal{J}} NC_j^*(t) \cdot \frac{1}{(1+i)^t} \cdot \frac{\ell_{x_j+t}}{\ell_{x_j}}}{\sum_{t=0}^{T-1} \sum_{j \in \mathcal{J}} S_j^*(t) \cdot \frac{1}{(1+i)^t} \cdot \frac{\ell_{x_j+t}}{\ell_{x_j}}}, \qquad (11.1)
$$

که گاهی اوقات به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$
\tau = \frac{PVFNC}{PVFS},
$$

که در آن $PVFNC$ ارزش فعلی هزینه‌های متعارف آتی (Discounted Value of Future Normal Costs) و $PVFS$ ارزش فعلی حقوق‌های آتی است.
با فرض یک صندوق اولیه غیرصفر ${F(0) > 0}$، کافی است آن را از $PVFNC$ کسر کنیم:

$$
\tau = \frac{PVFNC – F(0)}{PVFS}.
$$

هنگامی که نرخ مشارکت (Contribution Rate) تعیین شد، مشارکت کل (یعنی هزینه طرح) می‌تواند به صورت زیر محاسبه شود:

$$
C(0) = \tau \cdot \sum_{j \in \mathcal{J}} S_j(0).
$$

این مقدار $C(0)$ با مقدار $NC(0)$ مورد نیاز برای تامین مالی قراردادهای انفرادی مقایسه می‌شود:

  • اگر ${C(0) < NC(0)}$، روش قابل استفاده نیست،
  • اگر ${C(0) > NC(0)}$، مابه التفاوت ${C(0) – NC(0)}$ وارد صندوق هموارسازی می‌شود:

$$
F(0^+) = C(0) – NC(0).
$$

سال بعد، قبل از تأمین مالی، صندوق به صورت زیر در می‌آید:

$$
F(1^-) = F(0^+) \cdot (1+i) = (C(0) – NC(0))(1+i)
$$

و پس از تأمین مالی در ${t=1}$:

$$
F(1^+) = F(1^-) + C(1) – NC(1).
$$

به‌طور کلی، داریم:

$$
{\, C(t) = \tau \cdot \sum_{j \in J} S_j(t) \,}
$$

$$
{\, F(t^-) = F(t-1^+) \cdot (1+i) \,}
$$

$$
{\, F(t^+) = F(t) + C(t) – NC(t) \,}
$$

اگر واقعیت از فروض پیروی کند، صندوق $F$ در پایان دوره برابر صفر خواهد بود.

مزیت این روش آن است که ویژگی‌های تأمین مالی انفرادی و جمعی را با یکدیگر ترکیب می‌کند. همانند تأمین مالی انفرادی، شواهد روشنی از ذخایر برای هر فرد به‌طور جداگانه وجود دارد (انتقال تدریجی حقوق). همانند تأمین مالی جمعی، در این روش نیز جست‌وجویی برای پایداری جمعی تأمین مالی طرح صورت می‌گیرد.

با این حال، این روش معایبی نیز دارد: مستلزم انجام محاسبات مضاعف است (محاسبه هزینه‌های متعارف انفرادی و یک نرخ جمعی)، و همچنین مستلزم مدیریت دوگانه (قراردادهای انفرادی و صندوق هموارسازی) می‌باشد.

11.3 روش هزینه تجمعی

روش هزینه تجمعی یک روش واقعی تأمین مالی جمعی است که هدف آن دستیابی به تأمین مالی باثبات برای یک جمعیت معین، به‌صورت درصدی از کل حقوق در طول عمر اعضا می‌باشد.

این روش دو تفاوت با روش هموارسازی دارد. از یک سو، دیگر دو سطح وجود ندارد و فقط یک سطح، یعنی سطح جمعی، مطرح است. از سوی دیگر، برآوردها در طول کل عمر هر عضو انجام می‌شود و نه فقط در یک دوره زمانی ثابت برای همه.

بار دیگر به طرحی نگاه کنیم که مستمری بازنشستگی زیر را ارائه می‌دهد:

$$
{\, \text{pension} = \frac{N}{40} \cdot 50\% \cdot S^{\text{final}} \,}
$$

در سن ۶۰ سالگی.

مجموعه اعضای حاضر در${t=0}$ را با ${J = 1, 2, \ldots, K}$ نشان می‌دهیم.

برای هر فرد، دو نوع برآورد انجام می‌شود:

  • برآورد مزایا:

$$
{\, R_j^*(0) = \text{ projected benefit of individual j , estimated at t}=0 }
$$

$$
{\, R_j^*(0) = \frac{N_j}{40} \cdot 50\% \cdot S_j(0) \cdot (1+g)^{60-x_j-1} \,}
$$

  • برآورد حقوق:

$$
\begin{aligned}
S_j^*(t) = &\text{ projected salary at t of individual j}\\
=&{\, S_j^*(t) = S_j(0) \cdot (1+g)^t \,}
\end{aligned}
$$

سپس دو مقدار تجمعی محاسبه می‌شود:

  • تجمع مزایا:

$$
PVFB = \sum_{j \in \mathcal{J}} R_j^*(0) \cdot \ddot{a}_{60}\cdot {}_{60-x_j}E{x_j}
$$

  • تجمع حقوق:

$$
PVFS =
\sum_{j \in \mathcal{J}}
\sum_{t=0}^{60-x_j-1}
S_j^*(t) \cdot {}_{t}E_{x_j}
$$

در نهایت، نرخ مشارکت از طریق هم‌ارزی بیم‌سنجی بین تجمع مزایا و تجمع مشارکت‌ها محاسبه می‌شود:

$$\sum_{j \in \mathcal{J}} R_j^*(0) \cdot \ddot{a}_{60}\cdot {}_{60-x_j}E_{x_j}\sum_{j \in\mathcal{J}}
\sum_{t=0}^{60-x_j-1}
\tau \cdot S_j^*(t) \cdot {}_{t}E_{x_j}
$$

و در نتیجه:

$$
\tau =
\frac{
\sum_{j \in\mathcal{J}} R_j^*(0) \cdot \ddot{a}_{60}\cdot {}_{60-x_j}E_{x_j}
}{
\sum_{j \in \mathcal{J}}
\sum_{t=0}^{60-x_j-1}
S_j^*(t) \cdot E_{x_j}}=\frac{PVFB}{PVFS}
$$

مقایسه این فرمول با فرمول نرخ مشارکت (11.1) که در روش هموارسازی به‌دست آمده است، جالب توجه است. در هر دو حالت، مخرج بیانگر مجموعی از ارزش‌های فعلی حقوق‌های آتی است، اما ترتیب انجام جمع‌ها معکوس می‌باشد. در روش هموارسازی، کار روی یک دوره زمانی ثابت انجام می‌شود و افراد حاضر در آن دوره در نظر گرفته می‌شوند. در روش هزینه تجمعی، با یک نسل از افراد کار می‌کنیم و هر فرد تا سن بازنشستگی خود دنبال می‌شود.

اگر صندوق اولیه $F(0)$ غیرصفر باشد، کافی است آن را از $PVFB$ کسر کنیم:

$$
\tau = \frac{PVFB – F(0)}{PVFS}.
$$

پس از محاسبه نرخ، مجموع مشارکت (حق‌بیمه) سال اول برابر است با:

$$
C(0) = NC(0) = \tau \cdot \sum_{j \in \mathcal{J}} S_j(0)
$$

این مشارکت به صندوق جمعی واریز می‌شود (دیگر هیچ قرارداد یا حساب انفرادی وجود ندارد). این صندوق جمعی بهره دریافت کرده و برای پرداخت مستقیم مزایا مورد استفاده قرار می‌گیرد.

به‌طور کلی، صندوق جمعی از رابطه بازگشتی زیر پیروی می‌کند:

$$
F(t) = [F(t-1) + C(t-1)] \cdot (1+i_t) – B(t)
$$

که در آن ${C(t-1)}$ مشارکت پرداخت‌شده به صندوق، $i_t$ نرخ بازده مشاهده‌شده صندوق، و $B(t)$ کل مزایای پرداخت‌شده توسط صندوق است.

اگر واقعیت دقیقاً از مفروضات پیروی کند، نرخ $\tau$ می‌تواند ثابت بماند. در عمل، شکاف‌هایی وجود خواهد داشت و نرخ به‌طور منظم توسط فرمول زیر مجدداً محاسبه می‌شود:

$$
\tau(t) = \frac{PVFB(t) – F(t)}{PVFS(t)}
$$

که در آن:

  • $F(t)$ دارایی واقعی صندوق در زمان $t$ است،
  • $PVFS(t)$ ارزش تنزیل‌شده حقوق‌های آتی در زمان $t$ (که پس از زمان $t$ پرداخت می‌شوند) است و به‌صورت زیر داده می‌شود:

$$
PVFS(t) = \sum_{j \in \mathcal{J}} \sum_{s=0}^{60-x_j-t-1} S_j^*(s) \cdot {}_sE_{x_j+t}
$$

با فرض ${S_j^*(s) = S_j(t) \cdot (1+g)^{s-t}}$،

  • $PVFB(t)$ ارزش تنزیل‌شده مزایای آتی در زمان $t$ (که پس از زمان $t$ پرداخت می‌شوند) است و به‌صورت زیر داده می‌شود:

$$
PVFB(t) = \sum_{j \in \mathcal{J}} R_j^*(t) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_j-t}E_{x_j+t}
$$

که در آن:

$$
R_j^*(t) = \frac{N_j}{40} 50\% S_j(t) \cdot (1+g)^{60-x_t-t-1}
$$

همانند روش هموارسازی (Leveling)، این روش گاهی اوقات می‌تواند منجر به مقادیر منفی برای صندوق شود و بنابراین باید رد شود، همان‌طور که در مثال ۱۱.۱ نشان داده شده است.

مثال ۱۱.۱ بیایید دو عضو را در زمان ${t=0}$در نظر بگیریم:

  • ${j=1}$، که سن اولیه‌اش ${x_1=60}$ است و در سن ۲۵ سالگی وارد خدمت شده است.
  • ${j=2}$، که سن اولیه‌اش ${x_2=40}$ است و در سن ۲۵ سالگی وارد خدمت شده است.

این طرح یک مبلغ یکجا (سرمایه) در سن ۶۵ سالگی برابر با ${\frac{N}{40} \times 5S^{\text{final}}}$ ارائه می‌دهد، که در آن $N$ با احتساب خدمات گذشته شمارش شده است. ما فرض می‌کنیم حقوق واحد (یک) برای همه، بدون تورم یا مرگ‌ومیر، و تنزیل صفر برقرار است. اعمال روش هزینه تجمعی نتایج زیر را به دست می‌دهد:

  • نرخ مشارکت ${\tau = \frac{2 \cdot 5}{5+25} = \frac{1}{3}}$،
  • مجموع مشارکت ${C = \frac{2}{3}}$.

این مشارکت برای ۵ سال ثابت می‌ماند. در زمان ${t=5}$، صندوق دارای دارایی برابر با مقدار زیر است:

$$
F(5) = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}
$$

که برای پرداخت مزایای فرد ۱ ناکافی است، زیرا:

$$
F(5^+) = \frac{10}{3} – 5 = -\frac{5}{3}
$$

بنابراین این روش قابل اجرا نیست.
لازم به ذکر است که از نظر تراز نهایی، ما در پایان دوره مبلغ لازم را می‌یابیم:

$$
F(25) = F(5^+) + 20 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} + \frac{20}{3} = \frac{15}{3} = 5
$$

یعنی برای پرداخت سرمایه دوم کافی است.
با این حال، این روش باید در این مورد رد شود زیرا صندوق از یک مقدار منفی عبور کرده است. این در واقع یک مورد ساده از انتقال هزینه بین‌نسلی است.

همان‌طور که در این محاسبات نشان داده شد، دلیل این عدم توازن را باید در تأمین مالی خدمات گذشته اولیه جستجو کرد که توسط طرح به رسمیت شناخته شده اما در ابتدا ذخیره‌گیری نشده است. روش تجمعی (Aggregate) این تأمین مالی را در طول دوره متوسط باقیمانده شغلی گروه رقیق می‌کند و بنابراین سرعت استهلاک کافی را ایجاد نمی‌کند. به‌منظور اجتناب از این نوع مشکل، می‌توان انواع دیگری از روش تجمعی را توسعه داد تا به‌طور مستقل با این مشکلِ شناسایی خدمات اولیه برخورد کنند.

11.4 نرمال بر حسب سن تحقق یافته (Attained Age Normal)

در این گونه از روش هزینه تجمعی (Aggregate Cost)، ایده هموارسازی هزینه‌های آتی پیش‌بینی‌شده تا حد امکان حفظ می‌شود، در حالی که هم‌زمان از مشکلات عدم کفایت وجوه اجتناب می‌گردد. از این منظر، تأمین مالی خدمات گذشته اولیه دیگر در محاسبه نرخ مشارکت (Contribution Rate) گنجانده نمی‌شود، بلکه مشمول استهلاک جداگانه و تسریع‌شده است. ارزش‌گذاری این خدمات گذشته با استفاده از روش اعتبار واحد (Unit Credit Method) انجام می‌شود و تأمین مالی اضافی را یا به صورت یکجا و یا مستهلک‌شده در طی تعداد ثابتی از سال‌ها ایجاد می‌کند. مثال ۱۱.۲ این فرایند را نشان می‌دهد.

مثال ۱۱.۲: طرح زیر را در نظر بگیرید که مزایای آن به صورت یک مستمری بیان شده است: $$ \text{pension} = \frac{N}{40} 50\% S^{\text{final}} $$
در 60 سالگی،
که در آن خدمات گذشته در $N$ لحاظ شده‌اند.

گام ۱: هزینه اولیه خدمات گذشته. یک مبلغ کلی واحد محاسبه می‌شود که خدمات گذشته اولیه را برای تمام اعضا پوشش می‌دهد:

$$ UAL(0) = \sum_{j \in \mathcal{J}} \frac{N_{1j}}{40} 50\% S_j(0) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_j}E_{x_j}, \tag{11.2} $$

که در آن $N_{1j}$ طول دوره خدمت برای فرد $j$ بین زمان ورود به خدمت و ایجاد طرح است. این مبلغ در ابتدا بدون پشتوانه (Unfunded) است.

گام ۲: محاسبه نرخ مشارکت برای خدمات آتی. یک نرخ تجمعی با نادیده گرفتن هزینه فوق محاسبه می‌شود:
$$ \tau = \frac{PVFB – UAL(0)}{PVFS}. $$
هزینه متعارف همانند روش تجمعی به صورت زیر داده می‌شود: $$ NC(0) = \tau \cdot \sum_{j \in \mathcal{J}} S_j(0). $$

گام ۳: تأمین مالی اضافی باید فراهم گردد تا بدهی $UAL(0)$ مستهلک شود. برای مثال، یک استهلاک ثابت در طول $m$ سال می‌تواند مورد استفاده قرار گیرد:

$$ ADJ(0) = \frac{UAL(0)}{\ddot{a}_{\overline{m|}}}. $$

بنابراین کل مشارکت برابر است با:

$$ \begin{aligned} C(0) &= NC(0) + ADJ(0) \\ &= \tau \cdot \sum_{j \in \mathcal{J}} S_j(0) + \frac{UAL(0)}{\ddot{a}_{\overline{m|}}}. \end{aligned} $$

11.5 بدهی اولیه تثبیت شده (Frozen Initial Liability)

این روش مشابه روش نرمال بر حسب سن تحقق یافته است. خدمات گذشته اولیه دیگر در محاسبه نرخ تجمعی لحاظ نمی‌شود. این خدمات گذشته با استفاده از روش سن ورود (Entry Age Method) ارزش‌گذاری می‌شوند. تنها تفاوت نسبت به روش سن تحقق یافته (Attained Age)، نحوه محاسبه بدهی‌های بدون پشتوانه $UAL(0)$ است. در این حالت و بر اساس مثال فوق، ارزش تعهد اولیه تأمین‌نشده $UAL(0)$ (رک: رابطه ۱۱.۲) با به کارگیری منطق سن ورود به صورت زیر می‌شود:

$$ UAL(0) = \sum_{j \in \mathcal{J}} \frac{N_j}{40} 50\% S_j(0) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot \frac{{}_{60-y_j}E_{y_j} \, \ddot{a}_{y_j:\overline{x_j-y_j|}}}{\ddot{a}_{y_j:\overline{60-y_j|}} \, {}_{x_j-y_j}E_{y_j}}, $$

که در آن $y_j$ نشان‌دهنده سن در بدو ورود برای عضو $j$، $x_j$ نشان‌دهنده سن آن‌ها در زمان عضویت، $N_j$ نشان‌دهنده کل طول دوره خدمت بین ورود و بازنشستگی، و $S_j(0)$ نشان‌دهنده حقوق اولیه (در زمان عضویت) است. این مبلغ نشان‌دهنده مجموع ذخایر انفرادی است که اگر برای هر شرکت‌کننده یک مشارکت هموار (Leveled Contribution) از سن ورود تا عضویت در زمان ${t=0}$ بر اساس مزایای شناخته شده در زمان عضویت وجود می‌داشت، در طرح انباشته می‌شد.