فصل 2: مدل‌های بقا (ریاضیات بیم‌سنجی برای خطرات احتمالی زندگی)

خلاصه

در این فصل ما طول عمر آینده یک فرد را به عنوان یک متغیر تصادفی نشان می‌دهیم و نشان می‌دهیم که چگونه احتمال مرگ یا بقا را می‌توان تحت این چارچوب محاسبه کرد. سپس نیروی مرگ و میر را تعریف می‌کنیم که یک کمیت اساسی در مدل سازی مرگ و میر است. ما برخی از نمادهای بیم‌سنجی را معرفی می‌کنیم و ویژگی‌های توزیع طول عمر آینده را مورد بحث قرار می‌دهیم. ما متغیر تصادفی طول عمر آینده چکیده را معرفی می‌کنیم که تعداد سال‌های کامل زندگی آینده را نشان می‌دهد و تابعی از متغیر تصادفی طول عمر آینده است. ما توضیح می‌دهیم که چرا این تابع مفید است و توزیع احتمال آن را استخراج می‌کنیم.

متغیر تصادفی طول عمر آینده

در فصل 1 دیدیم که بسیاری از بیمه نامه‌ها در صورت فوت بیمه گزار مزایا دارند. هنگامی که یک شرکت بیمه چنین بیمه نامه‌ای را صادر می‌کند، تاریخ فوت بیمه گزار نامشخص است، بنابراین بیمه گر دقیقاً نمی‌داند که چه زمانی مزایای فوت قابل پرداخت خواهد بود. برای تخمین زمان پرداخت غرامت فوت، بیمه‌گر به مدلی از مرگ و میر انسان نیاز دارد که از آن بتوان احتمال مرگ در سنین خاص را محاسبه کرد و این موضوع این فصل است.

ما با یک نماد شروع می‌کنیم. فرض کنید $(x)$ یک فرد با سن $x$ را نشان می‌دهد، که در آن $x\ge 0$ است. مرگ فرد $(x)$ می‌تواند در هر سنی بزرگتر از $x$ رخ دهد، و ما طول عمر آینده $(x)$ را با یک متغیر تصادفی پیوسته که با $T_x$ نشان می‌دهیم مدل می‌کنیم. این بدان معنی است که $x + T_x$ نشان دهنده متغیر تصادفی سن در هنگام مرگ برای $(x)$ است. اجازه دهید $F_x$ تابع توزیع $T_x$ باشد، به طوری که

$$
F_x(t)=Pr\left[T_x \le t \right].
$$

بنابراین $F_x(t)$ این احتمال را نشان می‌‍دهد که $(x)$ فراتر از سن $x + t$ زنده نمی‌ماند، و ما به $F_x$ به عنوان توزیع طول عمر از سن $x$ اشاره می‌کنیم. در بسیاری از مسائل بیمه عمر، ما به احتمال بقا به جای مرگ علاقه مندیم، بنابراین $S_x$ را به عنوان

$$
S_x(t)=1-F_x(t)=Pr\left[T_x\gt t\right].
$$

تعریف می‌کنیم.

در نتیجه، $S_x(t)$ نشان دهنده احتمال زنده ماندن $(x)$ برای حداقل $t$ سال است و $S_x$ به عنوان تابع بقا شناخته می‌شود.
با توجه به تفسیر ما از مجموعه متغیرهای تصادفی $\{T_x\}_{x\ge 0}$ به عنوان طول عمر آینده افراد، ما به ارتباط بین هر جفت از آنها نیاز داریم. برای مشاهده این موضوع، $T_0$ و $T_x$ را برای فردی که اکنون $x$ ساله است در نظر بگیرید. متغیر تصادفی $T_0$ نشان دهنده طول عمر آینده در هنگام تولد برای این فرد است، به طوری که در هنگام تولد، سن فرد در هنگام مرگ با $T_0$ نشان داده می‌شود. این فرد می‌توانست قبل از رسیدن به سن $x$ بمیرد – احتمال آن $Pr[T_0 \lt x]$ بود – اما زنده مانده است. اکنون که فرد تا سن $x$ زنده مانده است، بنابراین می‌دانیم که $T_0 > x$، طول عمر آینده او با $T_x$ نشان داده می‌شود و سن او در هنگام مرگ اکنون $x + T_x$ است. اگر او در عرض $t$ سال از هم اکنون بمیرد، $T_x ≤ t$ و $T_0 \le x + t$. به زبان ساده، ما نیاز داریم که پیشامدهای $[T_x \le t]$ و $[T_0 \le x + t]$ معادل باشند، با توجه به اینکه فرد تا سن $x$ زنده می‌ماند. ما این را با فرض زیر برای همه $x \ge 0$ و برای همه $t\gt 0$ به دست می‌آوریم.

$$
\bbox[5px,border:2px solid]
{
Pr\left[T_x \le t\right]=Pr\left[T_0\le x+t |T_0 \gt x\right].
}\qquad (2.1)
$$

این یک رابطه‌ی مهم است.

حال از نظریه احتمال بیاد آورید که برای دو پیشامد $A$ و $B$

$$
Pr[A|B]=\frac{Pr[\text{A and B}]}{Pr[B]}
$$

بنابراین، با در نظر گرفتن $[T_0 \le x + t]$ به عنوان رویداد $A$، و $[T_0 > x]$ به عنوان رویداد $B$، می‌توانیم سمت راست $(2.1)$ را دوباره مرتب کنیم

$$
Pr[T_x \le t]=\frac{Pr[x \lt T_0 \le x+t]}{Pr[T_0 \ge x]}
$$

یعنی

$$
F_x(t)=\frac{F_0(x+t)-F_0(x)}{S_0(x)}\qquad(2.2)
$$

همچنین با استفاده از $=1-F_x(t)S_x(t)$،

$$
\bbox[5px,border:2px solid]
{
S_x(t)=\frac{S_0(x+t)}{S_0(x)},
}\qquad(2.3)
$$

که می‌توان به صورت زیر نوشته شود

$$
\bbox[5px,border:2px solid]
{
S_0(x+t)=S_0(x)S_x(t).
}\qquad(2.4)
$$

این یک نتیجه بسیار مهم است. این نشان می‌دهد که ما می‌توانیم احتمال بقا از تولد تا سن $x + t$ را به عنوان حاصلضرب دو عامل زیرتفسیر کنیم
(1) احتمال بقا تا سن $x$ از بدو تولد و
(2) احتمال زنده ماندن تا سن $x$، بقای بیشتر تا سن $x + t$.
توجه داشته باشید که $S_x (t)$ را می‌توان به عنوان احتمال زنده ماندن $(0)$ تا حداقل سن $x + t$ با توجه به اینکه $(0)$ تا سن $x$ زنده می‌ماند در نظر گرفت، بنابراین این نتیجه را می‌توان از رابطه احتمال استاندارد بدست آورد.

$$
Pr[\text{A and B}]=Pr[A|B] \times Pr[B]
$$

که در اینجا پیشامدها $A=[T_0 \gt x+t]$ و $B=[T_0 \gt x]$ هستند، بنابراین

$$
Pr[A|B]=Pr[T_0 \gt x+t|T_0 \gt x]
$$