فصل چهارم: سیستم‌های تأمین مالی عمومی (نظریه تأمین مالی بیم‌سنجی مستمری)

چکیده این فصل به طور رسمی‌تری به روش‌های مختلف تأمین مالی برای طرح‌های بازنشستگی می‌پردازد. پس از توضیح معادله عمومی تعادل بیم‌سنجی، ما خانواده‌های اصلی روش‌ها را مرور می‌کنیم. در نهایت، یک مدل اقتصاد کلان ساده، امکان مقایسه دو روش تأمین مالی حدی و بیان پارادوکس مشهور تأمین اجتماعی را فراهم می‌سازد.

۴.۱ معادله تعادل بیم‌سنجی عمومی یک طرح بازنشستگی

۴.۱.۱ تعادل بیم‌سنجی و روش‌های تأمین مالی

معادله تعادل یک طرح بازنشستگی مشارکت‌محور (contributive) بر اساس اصل هم‌ارزی بیم‌سنجی مزایا و حق‌بیمه‌ها استوار است: مزایای آتی باید یا توسط حق‌بیمه‌های آتی و یا توسط هرگونه ذخیره اولیه موجود تأمین مالی شوند. در نظریه بازنشستگی، این هم‌ارزی عموماً در سطح هر فرد بیان نمی‌شود (ما لزوماً به دنبال تعادل در سطح فردی نیستیم) بلکه در سطح برخی (زیر)جمعیت‌ها بیان می‌گردد. بنابراین ما رابطه زیر را داریم:

$$ \sum_{\text{individuals}} \text{discounted value of contributions} + \text{initial reserve} \\= \sum_{\text{individuals}} \text{discounted value of benefits}. \quad (4.1) $$

به عبارتی ارزش تنزیل شده کسور افراد به علاوه ذخیره اولیه برابر است با ارزش تنزیل شده‌ی مزایا.

به منظور معرفی معادلات پایه‌ای که ذخایر، مزایا و حق‌بیمه‌ها را به هم مرتبط می‌کنند، فرض می‌کنیم که سیستم در زمان ${t = 0}$ شروع می‌شود و دارای یک ذخیره اولیه ${V(0)}$ است. ما از نمادگذاری زیر استفاده می‌کنیم:

• ${\pi(s)}$ = نرخ حق‌بیمه متوسط طرح در زمان ${s}$،
• ${\bar{S}(s)}$ = حقوق متوسط جمعیت شاغل در زمان ${s}$،
• ${SS(s) = \sum_{x=x_0}^{x_r – 1} L(x, s)\bar{S}(s)}$ = مجموع حقوق و دستمزد (total payroll) در زمان ${s}$،
• ${\bar{R}(s)}$ = متوسط مزایای بازنشستگی پرداخت‌شده در زمان ${s}$،
• ${SR(s) = \sum_{x=x_r}^{\infty} L(x, s)\bar{R}(s)}$ = کل مزایای پرداخت‌شده در زمان ${s}$،
• ${i}$ = نرخ بازده ذخایر در طول یک دوره.

ما در اینجا فرض می‌کنیم که حق‌بیمه‌ها و مزایا به صورت سالانه در ابتدای هر سال پرداخت می‌شوند.
آنگاه می‌توانیم اولین عبارت از ذخایر طرح را به شکل پس‌نگر (retrospective form) به دست آوریم (ما در اینجا فرض خواهیم کرد که حقوق‌ها و مزایا در ابتدای دوره قابل پرداخت هستند):

$$\begin{aligned}
V(t) &= V(0) \cdot (1 + i)^t \\
&+ \sum_{s=0}^{t-1} (\pi(s)SS(s) – SR(s)) \cdot (1 + i)^{t-s}.
\end{aligned}
\quad (4.2) $$

این معادله امکان به دست آوردن معادله دومی را فراهم می‌کند که فرمول بازگشتی (recurrence formula) برای ذخایر نامیده می‌شود:

$$ V(t + 1) = (V(t) + \pi(t)SS(t) – SR(t))(1 + i) \quad (4.3) $$

یا به فرم دیفرانسیلی:

$$
\begin{aligned}
\Delta V(t + 1) &= V(t + 1) – V(t) \\
&= i \cdot V(t) + (\pi(t)SS(t) – SR(t))(1 + i),
\end{aligned}
$$

که بیان می‌کند افزایش در ذخایر طرح ناشی از بهره تعلق گرفته به ذخایر موجود و مازاد حق‌بیمه‌ها نسبت به مزایا است.
معادله تعادل اکچوئری (۴.۱) در نهایت به ما اجازه می‌دهد تا ذخایر را به شکل پیش‌نگر (prospective form) بیان کنیم:

ذخیره
$=$ ارزش تنزیل‌شده مزایای آتی
$-$ ارزش تنزیل‌شده حق‌بیمه‌های آتی

$$
\begin{aligned}
V(t) &= \sum_{s=t}^{\infty} SR(s)(1 + i)^{-(s-t)}\\
& – \sum_{s=t}^{\infty} \pi(s)SS(s)(1 + i)^{-(s-t)}
\end{aligned}
. \quad (4.4) $$

تراز بیم‌سنجی بین مزایا و حق‌بیمه‌ها سپس به سادگی با نوشتن فرم‌های پس‌نگر (۴.۲) و پیش‌نگر (۴.۴) و اینکه ذخیره طرح باید در هر زمان برابر باشند، بیان می‌شود:

$$ V(0)(1 + i)^t + \sum_{s=0}^{t-1} (\pi(s)SS(s) – SR(s))(1 + i)^{t-s} $$
$$ = \sum_{s=t}^{\infty} SR(s)(1 + i)^{-(s-t)} – \sum_{s=t}^{\infty} \pi(s)SS(s)(1 + i)^{-(s-t)}. \quad (4.5) $$

این فرمول بیانگر برابری بین ذخیره پس‌نگر انباشته شده در زمان ${t}$ و ذخیره پیش‌نگر در زمان ${t}$ است. به طور خاص در زمان ${0}$، می‌توانیم بنویسیم:

$$ V(0) + \sum_{s=0}^{\infty} \pi(s)SS(s)(1 + i)^{-s} = \sum_{s=0}^{\infty} SR(s)(1 + i)^{-s}, $$

بدین معنا که ذخایر اولیه به علاوه ارزش فعلی حق‌بیمه‌های آتی باید برابر با ارزش‌های فعلی مزایای آتی باشد.
در یک طرح مزایای معین (Defined Benefit)، بردار ${{SR}}$ ثابت است؛ در نتیجه یک روش تأمین مالی، برداری مانند ${{\pi}}$ است که در این معادله صدق کند. ما متذکر می‌شویم که بی‌نهایت جواب برای این بردار وجود دارد. هر جواب متناظر با یک روش تأمین مالی خاص است. در مقابل، در یک طرح حق‌بیمه معین (Defined Contribution)، بردار ${{\pi}}$ ثابت است و مزایای اعطا شده توسط طرح باید به گونه‌ای باشند که معادله (۴.۵) برقرار گردد.
روش‌های تأمین مالی پایه متفاوتی قابل شناسایی هستند.

۴.۱.۱.۱ حالت حدی شماره ۱

ما قیدِ داشتن ذخایر صفر در تمام زمان‌ها را اعمال می‌کنیم (در این حالت فرض می‌کنیم که با سطح ذخیره صفر شروع می‌کنیم: ${V(t) = 0 \quad \forall t}$). معادله بازگشتی (۴.۳) نشان می‌دهد که در این صورت باید داشته باشیم:

$$ \pi(t) \cdot SS(t) – SR(t) = 0 \quad \forall t. $$

در یک طرح مزایای معین، این امر منجر به نرخ حق‌بیمه زیر می‌شود:

$$ \pi(t) = \frac{SR(t)}{SS(t)}. \quad (4.6) $$

در یک طرح حق‌بیمه معین، همان معادله منجر به مزایای زیر می‌شود:

$$ SR(t) = \pi(t) \cdot SS(t) \quad \text{یا} \quad \bar{R}(t) = \frac{\pi(t) \cdot SS(t)}{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)}. $$

این روش پرداخت جاری (Pay-As-You-Go method) است.

۴.۱.۱.۲ حالت حدی شماره ۲

ما قیدِ عدم نیاز به پرداخت هیچ‌گونه حق‌بیمه آتی را اعمال می‌کنیم: ${\pi(t) = 0 \quad \forall t}$. بنابراین ذخیره اولیه باید برای تأمین مالی تمام مزایای آتی طرح کافی باشد.

$$ V(0) = \sum_{s=0}^{\infty} SR(s)(1 + i)^{-s} = \sum_{s=0}^{\infty} \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, s)\bar{R}(s)(1 + i)^{-s}. $$

این روش «تامین مالی اولیه» (initial funding) است. بدیهی است که این روشی است که بیشترین ذخایر را ایجاد می‌کند.

4.1.1.3 حالت شماره ۳

ما می‌توانیم روش دیگری را با اعمال قید داشتن یک نرخ مشارکت (contribution rate) که در طول زمان ثابت است، با ذخیره اولیه صفر معرفی کنیم: ${\pi(t) = \pi \quad \forall t}$،

$$
\pi = \frac{\sum_{s=0}^\infty SR(s)(1+i)^{-s}}{\sum_{s=0}^\infty SS(s)(1+i)^{-s}} = \frac{\sum_{s=0}^\infty \sum_{x=x_r}^\omega L(x,s)\bar{R}(s)(1+i)^{-s}}{\sum_{s=0}^\infty \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x,s)\bar{S}(s)(1+i)^{-s}}.
$$

این روش «حق‌بیمه عمومی میانگین» (average general premium method) است.
به‌طور کلی، در یک طرح مزایای معین ، یک روش تامین مالی قابل‌قبول (acceptable funding method) به عنوان یک بردار ${\{\pi}\}$ تعریف می‌شود که در معادله تعادل (4.5) صدق می‌کند به طوری که سطح ذخایر همواره بین روش «پرداخت جاری» (Pay-As-You-Go) و «تامین مالی اولیه» (Initial Funding) باشد:

$$
0 \leq V(t) \leq \sum_{s=t}^\infty \sum_{x=x_r}^\omega L(x,s)\bar{R}(s)(1+i)^{-(s-t)}.
$$

بنابراین ما روش‌هایی را که اگرچه به لحاظ بیم‌سنجی متوازن (actuarially balanced) هستند، اما می‌توانند در برخی نقاط ذخایر منفی تولید کنند، رد می‌کنیم. به عنوان یک مثال نقض، حالت زیر می‌تواند در نظر گرفته شود، جایی که هیچ چیزی تا زمان ${T}$ پرداخت نمی‌شود:

$$
V(0)=0 \quad ; \quad \pi(s)=0 \quad \forall s=0, \dots, T-1 \quad \text{and}
$$

$$
\pi(T)SS(T) = \sum_{s=0}^\infty SR(s)(1+i)^{T-s}.
$$

این معادله آخر، که منعکس‌کننده یک پرداخت کامل مانند حالت تامین مالی اولیه اما انجام شده با تاخیر بسیار زیاد است، ماهیت تعادل بیم‌سنجی این روش را نشان می‌دهد. با این وجود، اگر قرار باشد مزایا قبل از لحظه ${T}$ پرداخت شوند، یعنی اگر ${SR(s) \neq 0}$ برای ${s < T}$، ذخایر منفی خواهند شد و بنابراین روش قابل‌قبول نیست.

4.1.2 ذخیره شاغلین و ذخیره بازنشستگان

کل ذخایر ${V(t)}$ یک طرح بازنشستگی را به‌طور کلی می‌توان به دو بخش تقسیم کرد:

$$
V(t) = V_r(t) + V_a(t), \quad (4.7)
$$

که در آن:
${=V_r(t)}$ ذخایر لازم برای تامین مالی کامل مستمری افرادی که هم‌اکنون در زمان ${t}$ بازنشسته شده‌اند
${ =}$ ذخیره بازنشستگان (retirees’ reserve)

$$
= \sum_{x=x_r}^\infty \sum_{s=t}^{t+\omega-x} L(x,s)\bar{R}(s)(1+i)^{-(s-t)},
$$

${= V_a(t) }$ ذخیره شاغلین (workers’ reserve)

$$
= V(t) – V_r(t).
$$

ذخیره بازنشستگان به انتخاب روش تامین مالی بستگی ندارد؛ می‌توان آن را به عنوان یک سطح نظری عمومی در نظر گرفت. بنا به تعریف، ذخیره شاغلین مازادِ کل ذخایر بر ذخیره بازنشستگان است. بنابراین سطح آن به انتخاب روش تامین مالی بستگی دارد.
روش‌های مختلف تامین مالی را سپس می‌توان بر اساس علامت این ذخایر مختلف طبقه‌بندی کرد.

4.1.2.1 روش پرداخت جاری
(Pay-As-You-Go Metho)

$$
V(t) = 0 \quad \text{and} \quad V_a(t) = -V_r(t) < 0
$$

این طرح هیچ ذخیره‌ای ندارد. ذخیره بازنشستگان یک بدهی (liability) است که توسط جمعیت شاغل تحمل می‌شود. بنابراین شاغلین یک بدهی نسبت به سیستم دارند.

4.1.2.2 روش تامین مالی نهایی
(Terminal Funding Method)

$$
V(t) = V_r(t) \quad \text{and} \quad V_a(t) = 0
$$

این طرح در همه زمان‌ها دقیقا مبلغ مورد نیاز برای ذخیره بازنشستگان را دارد. شاغلین هیچ ذخیره‌ای ندارند، اما بدهی هم ندارند.

4.1.2.3 روش‌های تامین مالی کامل
(Fully Funded Methods)

$$
V(t) > V_r(t) \quad \text{and} \quad V_a(t) > 0
$$

ذخیره بازنشستگان تامین شده است و شاغلین دارای یک ذخیره اکیداً مثبت هستند.

4.1.3 پیش بینی‌های جمعیت‌شناختی
(Demographic Projections)

یکی از عناصر اساسی که در معادلات تعادل ظاهر می‌شود، انتخاب تابع ${L(x, t)}$ است که مدل‌سازی‌کننده جمعیتی است که هم‌ارزی بیم‌سنجی (actuarial equivalence) به آن مربوط می‌شود.
با شروع از جمعیت موجود در تاریخ مشاهده ${t}$، در مدل‌های مستمری معمولاً با سه وضعیت مواجه می‌شویم.

4.1.3.1 جمعیت بسته بدون جایگزینی
(Closed Population without Replacements)

در این حالت،

$$
E(x, s) = 0 \quad \forall s \ge t, \forall x.
$$

جمعیت اولیه به تدریج با خروج افراد کاهش می‌یابد. سری‌هایی که برای مثال در فرمول (۴.۴) ظاهر می‌شوند، تبدیل به مجموع‌های متناهی می‌گردند، زیرا فراتر از تاریخ ${t + \omega}$ در دیرترین حالت، تابع جمعیت برابر با صفر می‌شود.

4.1.3.2 جمعیت بسته با جایگزینی
(Closed Population with Replacements)

در این حالت، تابع ورودی برآورد شده در زمان ${t}$ برابر با صفر نیست، اما فراتر از یک زمان حد معین ${T}$ برابر صفر می‌شود:

$$
\exists T > 0 \text{ such that } E(x, r) = 0 \quad \forall r \ge T, \forall x.
$$

بنابراین ورودی‌های جدید آینده به جمعیت معرفی می‌شوند (طی یک یا چند نسل)، اما با این وجود جمعیت در نقطه‌ای بسته می‌شود. همانند حالت قبل، در دیرترین زمان ${T + \omega}$، تابع جمعیت برابر با صفر می‌شود.

4.1.3.3 جمعیت باز
(Open Population)

در این حالت، در هر زمان ${s > t}$، افراد جدید وارد جمعیت می‌شوند:

$$
\forall s \ge t : \Bigl \{ \begin{matrix} \exists r \ge s \\ \exists x \end{matrix} \Bigr \} \text{ such that } E(x, r) \neq 0.
$$

در نتیجه، جمعیت بر روی یک افق نامتناهی پیش‌بینی می‌شود. این نوع پیش‌بینی عمدتاً در سیستم‌های تأمین اجتماعی، با فرض ضمنیِ تداوم (permanence)، استفاده می‌شود. در مقابل، در طرح‌های شغلی (یعنی در رکن دوم)، همواره از یک جمعیت بسته استفاده می‌شود که اغلب بدون جایگزینی است.

4.2 طبقه‌بندی روش‌های تأمین مالی

اکنون به مطالعه روش‌های اصلی تأمین مالی می‌پردازیم. ما به ترتیب روش‌های پرداخت جاری(Pay-As-You-Go)، حق‌بیمه مقایس بندی شده(Scaled Premium)، تأمین سرمایه نهایی (Terminal Funding) و اندوخته‌گذاری کامل (Fully Funded) را در نظر خواهیم گرفت. توجه داشته باشید که تعاریف ارائه‌شده در این بخش مربوط به یک طرح مزایای معین (Defined Benefit) است.

4.2.1 روش پرداخت جاری
(Pay-As-You-Go Method)

روش پرداخت جاری (Pay-As-You-Go) مبتنی بر اصل هم‌ارزی (equivalence) در هر زمان بین حق‌بیمه‌های پرداختی توسط تمام شاغلین و مزایای مستمری پرداختی به تمام بازنشستگان است.
ما از نمادگذاری زیر استفاده می‌کنیم:

$\bar{R}(t) =$ متوسط مستمری پرداختی در زمان t
$\bar{S}(t) =$ متوسط حقوق در زمان t
$\pi_{PA}(t)=$ نرخ حق‌بیمه پرداخت جاری
$x_r =$ سن بازنشستگی
$x_0 =$ سن ورود

حق‌بیمه‌های جمع‌آوری شده در ${t}$ برابرند با:

$$
\pi_{PA}(t) \, \bar{S}(t) \sum_{x=x_0}^{x_r – 1} L(x, t),
$$

در حالی که هزینه‌های مستمری در ${t}$ برابرند با:

$$
\bar{R}(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t).
$$

بنابراین اعمال اصل هم‌ارزی نتیجه می‌دهد:

$$
\pi_{PA}(t) \, \bar{S}(t) \sum_{x=x_0}^{x_r – 1} L(x, t) = \bar{R}(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)
$$

	${D}$
	40%	44%	53%	63%	67%	69%
${\delta}$	50%	20.0%	22.0%	26.5%	31.5%	33.5%	34.5%
	70%	29.0%	30.8%	37.1%	44.1%	46.9%	48.3%

یا

$$
\begin{aligned}
\pi_{PA}(t) &= \frac{\bar{R}(t)}{\bar{S}(t)} \frac{\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t)}{\sum_{x=x_0}^{x_r – 1} L(x, t)} \\
&= \delta(t) \, D(t),
\end{aligned}
$$

که در آن ${\delta(t)}$ نسبت مزایا (benefit ratio) است که نسبت درآمد بازنشسته به درآمد شاغل (استاندارد نسبی زندگی بازنشستگان نسبت به جمعیت شاغل، پارامتر اجتماعی-اقتصادی) را اندازه‌گیری می‌کند و ${D(t)}$ نسبت وابستگی (dependence ratio) است (معادله (۳.۹) را ببینید، پارامتر جمعیت‌شناختی).
بنابراین، نرخ حق‌بیمه پرداخت جاری (Pay-As-You-Go contribution rate) حاصل‌ضرب نسبت وابستگی و نسبت مزایا است. هنگامی که نسبت مزایا ثابت باشد، طرح بالغ (mature) در نظر گرفته می‌شود. به یاد داشته باشید که در یک جمعیت پایدار (stable population)، نسبت وابستگی ثابت است. بنابراین، در یک جمعیت پایدار و برای یک طرح مستمری بالغ، نرخ حق‌بیمه توزیع ثابت است. در سایر وضعیت‌ها، نرخ در طول زمان تغییر خواهد کرد.
جدول ۴.۱ برخی از مثال‌های نرخ‌های حق‌بیمه را برای مقادیر مختلف نسبت وابستگی و نسبت مزایا ارائه می‌دهد.
برای نتیجه‌گیری، بیایید ویژگی‌های اصلی روش پرداخت جاری (Pay-As-You-Go method) را خلاصه کنیم:

1. عدم وجود ذخایر (no reserves): حق‌بیمه‌های شاغلین مستقیماً تبدیل شده و صرف پرداخت مزایا به بازنشستگان می‌شود،
2. انتقال کامل بین‌نسلی (full inter-generational transfer): مزایای یک نسل کاملاً وابسته به نسل دیگر است،
3. نیاز به تداوم (need for permanence): این روش، که هیچ تضمین آتی برای شاغلین یا بازنشستگان ارائه نمی‌دهد، تنها در فلسفه تداوم سیستم مستمری می‌تواند منصفانه تصور شود،
4. عدم حساسیت به تورم (insensitivity to inflation): این روش، به دلیل ماهیت مقطعی/عرضی خود، امکان ایجاد پیوند بین مزایای مستمری و تحولات حقوق‌ها را فراهم می‌کند،
5. عدم حساسیت به بازارهای مالی (insensitivity to financial markets): این روش منجر به هیچ شکلی از سرمایه‌گذاری نمی‌شود و بنابراین به تحولات بازارهای مالی وابسته نیست،
6. حداکثر حساسیت به تحولات جمعیت‌شناختی (maximum sensitivity to demographic evolution): این روش به شدت به تحولات جمعیت‌شناختی جمعیت، و به ویژه به تعادل بین تعداد شاغلین و بازنشستگان وابسته است،
7. ثبات هزینه (cost stability): زمانی که جمعیت پایدار است و طرح بالغ می‌باشد، این روش امکان تأمین مالی باثبات در طول زمان را برای طرح مستمری فراهم می‌کند.

4.2.2 روش پرداخت جاری با حق‌بیمه مقیاس بندی شده
(Scaled Premium PAYG Method)

روش حق‌بیمه مقیاس بندی شده (Scaled Premium method) بر همان اصول روش پرداخت جاری تک‌دوره‌ای (single-period Pay-As-You-Go) استوار است، اما به جای اینکه درخواست کنیم درآمدها و هزینه‌ها در یک دوره برابر باشند، درخواست می‌کنیم که مقادیر تنزیل‌شده (discounted values) آن‌ها در طول چندین دوره برابر باشند:

مقدار تنزیل‌شده حق‌بیمه‌های دریافتی شاغلان بین $t$ و ${t+T}$
$=$
مقدار تنزیل‌شده مزایای پرداختی به بازنشستگان بین $t$ و ${t+T}$

از نظر تحلیلی، از یک سو، برای مقدار تنزیل‌شده حق‌بیمه‌ها در بازه ${[t, t + T]}$ داریم:

$$
\pi_{SP}(t) \cdot \sum_{s=0}^{T} \bar{S}(t + s) \left( \sum_{x=x_0}^{x_r – 1} L(x, t + s) \right) v^s,
$$

که در آن ${v = 1/(1 + i)}$ نشان‌دهنده عامل تنزیل (discount factor) است. از سوی دیگر، برای مقدار تنزیل‌شده هزینه‌ها در بازه ${[t, t + T]}$ به دست می‌آوریم:

$$
\sum_{s=0}^{T} \bar{R}(t + s) \left( \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t + s) \right) \cdot v^s.
$$

با اعمال اصل هم‌ارزی (principle of equivalence)، به دست می‌آوریم:

$$
\pi_{SP}(t) = \frac{\sum_{s=0}^{T} \bar{R}(t + s) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t + s) \, v^s}{\sum_{s=0}^{T} \bar{S}(t + s) \sum_{x=x_0}^{x_r – 1} L(x, t + s) \, v^s}.
$$

به‌ویژه، اگر جمعیت پایدار باشد، با در نظر گرفتن معادله (۳.۶)، به دست می‌آوریم:

$$
\begin{aligned}
\pi_{SP}(t) &= \frac{\sum_{s=0}^{T} \bar{R}(t + s) \sum_{x=x_r}^{\omega} \varphi(t + s)\chi(x) \, v^s}{\sum_{s=0}^{T} \bar{S}(t + s) \sum_{x=x_0}^{x_r – 1} \varphi(t + s)\chi(x) \, v^s} \\
&= \frac{\left(\sum_{x=x_r}^{\omega} \chi(x)\right) \left(\sum_{s=0}^{T} \bar{R}(t + s)\varphi(t + s) \, v^s\right)}{\left(\sum_{x=x_0}^{x_r – 1} \chi(x)\right) \left(\sum_{s=0}^{T} \bar{S}(t + s)\varphi(t + s) \, v^s\right)} \\
&= D \, \bar{\delta}(t),
\end{aligned}
$$

که در آن ${D}$ نسبت وابستگی است، و ${\bar{\delta}(t)}$ میانگین وزنی نسبت مزایا بین ${t}$ و ${t + T}$ است.

اگر فرض کنیم که حقوق‌ها و مستمری‌ها به یک شکل حرکت می‌کنند (با نسبت مزایای ثابت)، یعنی اینکه ${\bar{R}(t + s) = \delta \bar{S}(t + s)}$ باشد، آنگاه داریم:
$$\pi_{SP}(t) = D \delta$$
و ما مجدداً به روش پرداخت جاری تک دوره‌ای می‌رسیم.

بنابراین، استفاده از روش پرداخت جاری مقیاس‌بندی شده، که شامل تراز کردن نرخ‌هایی است که از روش پرداخت جاری تک دوره‌ای به دست می‌آیند، تنها زمانی منطقی است که جمعیت پایدار نباشد یا نسبت مزایا ثابت نباشد.

باید توجه داشت که روش پرداخت به ازای هر دوره حق بیمه مقیاس‌بندی شده ممکن است همیشه قابل استفاده نباشد زیرا ممکن است منجر به ذخایر منفی شود. در واقع، اگر در ابتدای طرح، و در غیاب ذخایر از پیش موجود، داشته باشیم:

$$ \pi_{SP}(0) < \pi_{PA}(0) = \frac{SR(0)}{SS(0)}$$

فرمول ذخیره گذشته‌نگر (۴.۲) نتیجه می‌دهد:

$$
V(1) = (\pi_{SP}(0)SS(0) – SR(0)) \cdot (1 + i) <
(\frac{SR(0)}{SS(0)}\cdot SS(0) – SR(0)) \cdot (1 + i) = 0.$$

روش حق بیمه مقیاس‌بندی شده زمانی مفید است که رشد هزینه‌های قابل توجهی در مدل پرداخت جاری تک دوره‌ای وجود داشته باشد. روش حق بیمه مقیاس‌بندی شده در این حالت اجازه می‌دهد که در یک دوره زمانی ثابت افزایش نرخ، پیش ‌تأمین مالی شده و تراز گردد.

4.2.3 گونه متفاوت: روش حق بیمه مقیاس‌بندی شده با صندوق حایل

حق بیمه مقیاس‌بندی شده در دوره تراز کردن ${(t, t + T)}$ مقداری ذخیره تولید می‌کند، اما به طور معمول ذخایر در پایان این دوره (در زمان ${t + T + 1}$) مستهلک می‌شوند. می‌توان ترجیح داد که یک سطح حداقل ذخیره، حتی در پایان دوره تراز کردن، حفظ شود که برای مثال متناظر با مضربی از میانگین سالانه مزایای پرداختی باشد (صندوق حایل ایمنی). برابری بیم‌سنجی در طول دوره ${(t, t + T)}$ در این صورت به صورت زیر خواهد بود:

ذخیره در زمان t
+ارزش تنزیل شده حق بیمه‌های دریافتی بین t و t + T
=ارزش تنزیل شده مزایای پرداختی به بازنشستگان بین T و t + T
+ ذخیره هدف مورد نظر تنزیل شده در زمان t + T + 1 .
نرخ حق بیمه در این صورت برابر است با:
$$\pi_{SPB}(t) = \frac{\sum_{s=0}^{T} R(t + s) \omega_{x=x_r} L(x, t + s)v^s + V(t + T + 1)v^{T+1} – V(t)}{\sum_{s=0}^{T} S(t + s) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t + s)v^s}$$
که در آن:
$V(t) = \text{ذخیره جاری در زمان } t$
$V(t + T + 1) = \text{ذخیره هدف در زمان } t + T + 1$

باید اشاره کنیم که برای $T = 0$، به گونه‌ای از روش پرداخت به ازای هر دوره (Pure Pay-As-You-Go) دست می‌یابیم که در آن نوعی ذخیره‌سازی در حق بیمه سالانه اعمال می‌شود.
نرخ حق بیمه متناظر در این حالت توسط رابطه زیر داده می‌شود:
$$\pi_{PAB}(t) = \frac{R(t) \sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t) + (V(t + 1)v – V(t))}{S(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)}$$

در نهایت اشاره کنیم که، مانند روش حق بیمه مقیاس‌بندی شده پایه، این واریانت با صندوق بافر نیز گاهی اوقات به دلیل امکان تولید ذخیره منفی در طول دوره تراز کردن، قابل قبول نیست (Not Admissible). البته، حضور ذخایر مهم‌تر در این واریانت، این ریسک عدم پذیرش را کمتر می‌سازد.

\text{۴.۲.۴} \text{روش پرداخت به ازای هر دوره با تأمین مالی نهایی (Terminal Funding PAYG Method)}
این روش بر اصل برابری بین، از یک سو، حق بیمه‌های پرداختی توسط جمعیت فعال در طول یک دوره معین و از سوی دیگر، مبالغ یکجا (Lump Sums) استفاده شده برای تأمین مالی مزایا (تا زمان فوت) نسل بازنشسته شده در طول آن دوره، استوار است.

از نظر تحلیلی، حق بیمه‌های جمع‌آوری شده در زمان $t$ (با ارجاع به روش پرداخت به ازای هر دوره) برابر است با:
$$\pi_{TF}(t) S(t) \sum_{x=x_0}^{x_r-1} L(x, t)$$
و برای هزینه‌ها در زمان $t$:
$$\sum_{x=x_r}^{\omega} L(x, t + x – x_r) R(t + x – x_r) v^{x-x_r}$$