چکیده: این فصل تکنیک‌های مختلفی را برای مستهلک کردن سودها و زیان‌های بیم‌سنجی ناشی از تفاوت بین مفروضات استفاده شده و وضعیت واقعی ارائه می‌دهد. پس از یادآوری منابع اصلی تفاوت و ارائه تکنیک‌های استاندارد استهلاک، نشان می‌دهیم که برخی از روش‌های اصلی تامین مالی انفرادی و گروهی چگونه واکنش نشان می‌دهند.
۱۲.۱ منشأ سودها و زیان‌های بیم‌سنجی
روش‌های تامین مالی کامل (Fully Funded) انفرادی یا گروهی ارائه‌شده در فصل‌های ۱۰ و ۱۱، بر اساس مفروضات مختلفی در مورد تغییرات آینده در محیط استوار هستند: نرخ رشد حقوق، نرخ تنزیل، روندهای مرگ‌ومیر. حتی اگر بیم‌سنج (اکچوئری) مراقبت زیادی برای استفاده از برآوردگرهای دقیق این مقادیر به عمل آورد، تفاوت‌های پسینی (Ex Post) بین مقادیر مورد انتظار و مقادیر واقعی پارامترها رخ خواهد داد:
- تفاوت بین نرخ تنزیل و نرخ واقعی بازده دارایی‌ها.
- تفاوت بین نرخ مورد انتظار رشد حقوق و افزایش‌های واقعی.
- تفاوت بین جدول عمر (Life Table) و مرگ‌ومیر واقعی.
علاوه بر این، بیم‌سنج ممکن است مجبور شود پارامترهای برآورد (Projection) خاصی را در طول عمر طرح با توجه به تحول واقعی شاخص‌های مربوطه اصلاح کند. در نهایت، مزایای پیش‌بینی‌شده در طرح نیز ممکن است در مقطع زمانی خاصی به دنبال بازنگری طرح (برای مثال، تجدیدنظر افزایشی در مزایای بازنشستگی) اصلاح شوند.
این عناصر متفاوت باعث ایجاد عدم تعادل بین دارایی‌ها و بدهی‌های طرح می‌شوند که نیاز به رسیدگی دارد. در این زمینه، بسته به اینکه علت عدم تعادل دارایی‌ها باشد یا بدهی‌های طرح بازنشستگی، دو وضعیت قابل تمایز است:
- شکاف دارایی (Asset Gap): عدم تعادل مرتبط با تحول متفاوت ارزش دارایی‌ها در مقایسه با مفروضات استفاده شده در بدهی‌های بیم‌سنجی. در این حالت، برآورد بدهی‌های بیم‌سنجی تغییر نمی‌کند اما یک شکاف پیش‌بینی‌نشده، مثبت یا منفی، نسبت به دارایی‌ها رخ می‌دهد. با در نظر گرفتن توابع پایه تامین مالی، مقدار $AL(t)$ بدون تغییر باقی می‌ماند، اما ارزش صندوق $F$ مقدار $F^*(t)$ را می‌گیرد که متفاوت از مقدار مورد انتظار $F(t)$ است. این تفاوت‌ها برای مثال ناشی از تحول پسینی متفاوت نرخ بازده دارایی‌ها هستند.
- شکاف بدهی (Liability Gap): عدم تعادل مربوط به یک تغییر لحظه‌ای در بدهی‌های بیم‌سنجی ناشی از تغییر در مفروضات برآورد بیم‌سنجی یا بازنگری در طرح بازنشستگی. این بار ارزش صندوق مطابق با ارزش مورد انتظار $F(t)$ است. از سوی دیگر، بدهی بیم‌سنجی از یک مقدار مورد انتظار $AL(t)$ به یک مقدار جدید $AL^*(t)$ تغییر می‌کند.
بدیهی است که این دو منبع تفاوت می‌توانند انباشته شوند. برای مثال فرض کنید که نرخ‌های بازده به طور گسترده‌ای با فرض اولیه متفاوت است و بنابراین یک شکاف دارایی وجود دارد. در همان زمان، این تفاوت قابل توجه، که توسط بیم‌سنج به عنوان یک تفاوت پایدار بین مفروضات و واقعیت در نظر گرفته می‌شود، منجر به بازنگری در فرض نرخ تنزیل برای آینده می‌شود.
این شکاف دارایی-بدهی یک بدهی تعهد شده بدون پشتوانه (Unfunded Accrued Liability) ایجاد می‌کند:
$$
UAL(t) = AL(t) – F(t).
$$
زمانی که این بدهی بدون پشتوانه مثبت است (وضعیت زیان)، این شکاف باید با استفاده از یک روش بیم‌سنجی مستهلک شود. از سوی دیگر، زمانی که بدهی بدون پشتوانه منفی است (وضعیت سود)، مازاد می‌تواند یا به دلایل احتیاطی حفظ شود، یا حق‌بیمه‌های (Contributions) آتی طرح می‌توانند به سمت پایین تعدیل شوند. در حالت حدی، ممکن است یک «توقف حق‌بیمه» موقتی وجود داشته باشد: مازاد به قدری است که طرح برای یک دوره معین نیازی به تامین مالی توسط حق‌بیمه‌های جدید ندارد.
هدف این فصل نشان دادن این است که چگونه برخی از روش‌های اصلی تأمین مالی توصیف شده در فصل‌های ۱۰ و ۱۱ به این شکاف‌ها پاسخ می‌دهند. سه روش اصلی زیر در اینجا مورد بحث قرار می‌گیرند: روش هزینه اعتبار واحد (Unit Credit Method)، روش حق‌بیمه ثابت انفرادی (Individual Level Premium Method)، و روش تجمعی (Aggregate Method).
۱۲.۲ استهلاک در روش هزینه اعتبار واحد (Unit Credit Cost)
ما به یک طرح بازنشستگی استاندارد که مستمری معادل نیمی از آخرین حقوق را فراهم می‌کند، علاقه‌مندیم. فرض بر این است که هیچ شناسایی برای خدمات گذشته (Past Service) وجود ندارد. فرض می‌شود که در زمان $t$ بدهی بیم‌سنجی و صندوق در تعادل هستند و توسط رابطه (۱۰.۱) داده می‌شوند:
$$
AL(t) = F(t) = \frac{t}{40} 50\% S(t-1) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x}E_x.
$$
حق‌بیمه‌ای که باید در زمان $t$ در غیاب سودها یا زیان‌های بیم‌سنجی پرداخت شود، توسط رابطه (۱۰.۲) داده می‌شود:
$$
NC_t = \left[ \frac{1}{40} 50\% S(t) + \frac{t}{40} 50\% (S(t) – S(t-1)) \right] \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x}E_x.
$$
هنگامی که مفروضات با واقعیت منطبق باشند، این مقدار عملاً به ما اجازه می‌دهد که از $AL(t)$ به ${AL(t+1)}$ منتقل شویم و بنابراین در این فرض، بیانگر حق‌بیمه سال مورد نظر است.
در واقع می‌توان رابطه بازگشتی زیر را نوشت:
$$
AL(t+1)=\frac{AL(t)+NC_{t+1}}{{}_{1}E_x}=\frac{F(t)+NC_{t+1}}{{}_{1}E_x}=F(t+1)
.\qquad (12.1)
$$
که بیان می‌کند جابه‌جایی بدهی‌ها از زمان $t$ به ${t+1}$ از طرف دارایی‌ها از محل عایدی‌ها و از طرف بدهی‌ها از طریق پرداخت هزینه متعارف تأمین مالی می‌شود.
۱۲.۲.۱ شکاف دارایی
ابتدا حالت وجود شکاف دارایی را در نظر می‌گیریم. در این حالت، فرمول‌های بدهی بیم‌سنجی تغییر نمی‌کنند و حق‌بیمه قابل پرداخت همچنان باید انتقال از سطح $AL(t)$ به سطح $AL(t+1)$ را پوشش دهد.
در عمل، تحول خالص سرمایه‌ای باید با استفاده از عناصر واقعی محاسبه شود (نرخ مؤثر بازده بین $t$ و ${t+1}$ و نرخ واقعی بقا). بنابراین، رابطه (12.1) به‌طور ضمنی فرض می‌کند که این مبانی با آنچه در بدهی بیم‌سنجی استفاده شده، یکسان هستند:
$$
{}_{1}E_x=\frac{1}{1+i}\,{}_{1}p_x.
\qquad (12.2)
$$
در صورت وجود تفاوت دارایی، این سرمایه‌گذاری خالص با آنچه در مبانی فنی بیان شده متفاوت است:
$$
{}_{1}E_x^{}=\frac{1}{1+j}\,{}_{1}p_x^{*}.
\qquad (12.3)
$$
زیرا نرخ مؤثر بازده $j$ با نرخ بیم‌سنجی $i$ متفاوت است و/یا بقای واقعی با جدول مرگ‌ومیر مورد استفاده در مفروضات بیم‌سنجی تطابق ندارد.
در این حالت، رابطه (12.1) دیگر برقرار نیست.
از منظر دارایی‌ها، پرداخت هزینه متعارف $NC_t$ و همچنین تحول واقعی بهره و مرگ‌ومیر بین زمان‌های $t$ و ${t+1}$ به صندوق اجازه می‌دهد که از مقدار $F(t)$ به مقداری که با ${F^{*}(t+1)}$ مشخص می‌شود، منتقل شود که به صورت زیر داده می‌شود:
$$
\begin{aligned}
F^{*}(t+1)&=\frac{AL(t)+NC_t}{{}_1E_x^{*}}\\
&=\frac{AL(t)+NC_t}{{}_{1}E_x}-\left(AL(t)+NC_t\right)\left(\frac{1}{{}_{1}E_x}\frac{1}{\,{}_{1}E_x^{*}}
\right)\\
&=AL(t+1)-UAL(t+1).
\end{aligned}
$$
مقدار ${UAL(t+1)}$ بیانگر کسری دارایی نسبت به بدهی بیم‌سنجی است. منطق روش هزینه اعتباری واحد، که هدف آن نگهداری ذخیره‌ای متناسب با خدمات گذشته در هر مقطع زمانی است، تأمین مالی این مقدار را به‌صورت پرداخت یکجای آن تشویق می‌کند. در این حالت، حق‌بیمه‌ای که باید در زمان $t$ پرداخت شود به صورت زیر خواهد بود:
$$
\begin{aligned}
C(t+1)&=NC_{t+1}+UAL(t+1)\\
&=NC_{t+1}+\left(AL(t)+NC_t\right)
\left(\frac{1}{\,{}_{1}E_x}-\frac{1}{\,{}_{1}E_x^{*}}
\right)
.
\end{aligned}
\qquad (12.4)
$$
گاهی اوقات، به‌جای آنکه این کسری فوراً تأمین مالی شود، می‌توان آن را طی تعداد ثابتی از سال‌ها مستهلک کرد.
باید به خاطر داشت که در فرمول (12.4)، مقدار $UAL$ بسته به مورد می‌تواند مثبت باشد (زیان بیم‌سنجی ـ نیاز به تأمین مالی اضافی) یا منفی باشد (سود بیم‌سنجی ـ کاهش در تأمین مالی). به‌ویژه، در حالت سود بزرگ (یعنی $UAL$ بزرگتر از $NC$)، طرح در وضعیت «وقفه پرداخت حق‌بیمه» قرار می‌گیرد.
۱۲.۲.۲ شکاف بدهی
اکنون وضعیت وجود تفاوت بدهی را در نظر می‌گیریم که مثلاً ناشی از تغییر در برخی مفروضات بیم‌سنجی مورد استفاده برای تعیین بدهی بیم‌سنجی است. با فرض اینکه هیچ تفاوت دارایی وجود ندارد، رابطه (12.1) (و بنابراین پرداخت هزینه عادی) منجر به بدهی بیم‌سنجی متناظر با مبانی فنی قبلی می‌شود:
$$
\begin{aligned}
AL(t+1)&=\frac{AL(t)+NC_t}{\,{}_{1}E_x}=\frac{F(t)+NC_t}{\,{}_{1}E_x}=F(t+1)\\
&=\frac{t+1}{40}\,50\%\,S(t)\cdot\ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x-1}E_{x+1}
\end{aligned}
$$
اکنون تغییر مفروضات بیم‌سنجی در زمان ${t+1}$ منجر به یک هدف جدید بدهی بیم‌سنجی می‌شود که با ${AL^{*}(t+1)}$ نشان داده شده و به صورت زیر داده می‌شود:
$$
AL^{*}(t+1)=\frac{t+1}{40}
\,50\%\,S(t)
\cdot
\ddot{a}_{60}^{*} \cdot {}_{60-x-1}E_{x+1}^{*}.
$$
که در آن عناصر بیم‌سنجی $\ddot{a}_{60}^{*}$ و ${}_{60-x-1}E_{x+1}^{*}$ با استفاده از مفروضات جدید (نرخ تنزیل و/یا جدول عمر) محاسبه شده‌اند.
در این حالت، بنابراین یک کسری به صورت زیر به وجود می‌آید:
$$
\begin{aligned}
UAL(t+1)&=AL^{*}(t+1)-AL(t+1)\\
&=AL(t+1)\left(
\frac{\ddot{a}_{60}^{}\cdot{}_{60-x-1}E_{x+1}^{*}}{\ddot{a}_{60}\cdot{}_{60-x-1}E_{x+1}}-1
\right)
\end{aligned}
$$
همان‌طور که در بالا دیده شد، این تفاوت می‌تواند مستقیماً با افزودن آن به هزینه متعارف سال تأمین مالی شود یا می‌توان آن را طی یک دوره ثابت مستهلک کرد.
۱۲.۲.۳ اصلاح طرح
نهایتاً، تغییری در تعریف تضمین‌های ارائه‌شده به اعضا می‌تواند به‌عنوان منبعی برای ایجاد شکاف تلقی شود.
به‌عنوان مثال، فرض کنید که در زمان ${t+1}$ طرح از هدف ۵۰٪ آخرین حقوق به هدف ۶۰٪ آخرین حقوق با جبران کامل (همگام‌سازی) سال‌های کارکرد قبلی تغییر یابد (فرمول جدید به‌صورت عطف‌به‌ماسبق از زمان ثبت‌نام اعمال می‌شود). در این صورت، یک شکاف بدهی نیز وجود دارد، به‌طوری که بدهی بیم‌سنجی از سطح زیر:
$$
AL(t+1) = \frac{t+1}{40} 50\% S(t) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x-1}E_{x+1}
$$
به سطح جدید زیر حرکت می‌کند:
$$
AL^*(t+1) = \frac{t+1}{40} 60\% S(t) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x-1}E_{x+1}
$$
بنابراین کسری در این حالت به‌سادگی برابر است با:
$$
UAL(t+1) = \frac{t+1}{40} 10\% S(t) \cdot \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x-1}E_{x+1}
$$
این کسری نیز می‌تواند یا فوراً تأمین مالی شود یا طی تعداد سال‌های مشخصی توزیع گردد.
در نهایت توجه داشته باشید که در صورت تجمیع منابع مختلف انحراف، کافی است اصلاحات مختلفی که در بالا مشاهده شد را با هم جمع کنیم.
۱۲.۳ استهلاک در روش حق‌بیمه ثابت انفرادی
حال بیایید بررسی کنیم که روش حق‌بیمه ثابت انفرادی چگونه به سود و زیان‌های بیم‌سنجی واکنش نشان می‌دهد.
فرض بر این است که تا زمان $t$ هیچ منبعی برای سود یا زیان وجود نداشته است. سپس بین زمان‌های $t$ و ${t+1}$ تفاوتی در دارایی‌ها یا بدهی‌ها ایجاد می‌شود. در زمان $t$، هزینه متعارف روش را می‌توان به‌صورت زیر نوشت (ر.ک. ۱۰.۴):
$$
NC_t = NC_{t-1} + \Delta NC_t, \qquad (12.5)
$$
$$
\Delta NC_t = \left[ \frac{N}{40} 50\% \Delta S(t) \ddot{a}_{60} \right] \frac{{}_{60-x_0-t}E_{x_0+t}}{\ddot{a}_{x_0+t:\overline{60-x_0-t}|}}
$$
بدهی‌های بیم‌سنجی را می‌توان با استفاده از یک فرمول پس‌نگر محاسبه کرد که ذخیره را به‌عنوان مجموع انباشته پرداخت‌های گذشته قبل از زمان $t$ بیان می‌کند. در غیاب تفاوت بیم‌سنجی، این مقدار همچنین برابر با صندوق است:
$$
AL(t) = F(t) = \sum_{j=0}^{t-1} \frac{NC_j}{{}_{t-j}E_{x_0+j}}
$$
اگر هیچ تفاوتی بین زمان‌های $t$ و ${t+1}$ وجود نداشته باشد، هزینه متعارف در زمان ${t+1}$ را می‌توان به‌عنوان تابعی از این بدهی بیم‌سنجی به روشی جایگزین نسبت به فرمول (۱۲.۵) بیان کرد. هزینه متعارف در زمان ${t+1}$ مبلغی است که امکان تأمین مالی باقیمانده بدهی‌های تأمین‌نشده را به‌صورت حق‌بیمه‌های ثابت فراهم می‌سازد:
$$
\begin{aligned}
NC_{t+1} = & \left[ \frac{N}{40} 50\% S(t+1) \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_0-t-1}E_{x_0+t+1} \right. \\
& \left. – \frac{AL(t) + NC_t}{{}_{1}E_{x_0+t}} \right] \frac{1}{\ddot{a}_{x_0+t+1:\overline{60-x_0-t-1}|}} \qquad (12.6)
\end{aligned}
$$
بدهی‌های بیم‌سنجی از همان فرمول بازگشتی (۱۲.۱) که در روش اعتبار واحد (Unit Credit) وجود داشت، پیروی می‌کنند.
۱۲.۳.۱ شکاف دارایی
حال بیایید مورد یک شکاف دارایی بین زمان‌های $t$ و ${t+1}$ را در نظر بگیریم. در این صورت می‌توانیم، همانند روش اعتبار واحد، کسری دارایی‌ها را در مقایسه با بدهی‌های بیم‌سنجی تعریف کنیم:
$$
UAL(t+1) = (AL(t) + NC_t) \left(
\frac{1}
{{}_{1}E_{x_0+t}}
– \frac{1}
{{}_{1}E_{x_0+t}^{*}}
\right),
$$
که در آن بیمه‌های به شرط حیات محض (Pure Endowments) توسط (۱۲.۲) و (۱۲.۳) داده شده‌اند.
اگر قرار باشد فلسفه اساسی روش حق‌بیمه ثابت انفرادی مبنی بر هموارسازی هزینه‌ها با پرداخت‌های ثابت حفظ شود، این کسری باید طی باقیمانده دوران کاری مستهلک شود. در این حالت، استهلاکِ کسری ضمنی در هزینه متعارف گنجانده خواهد شد. بنابراین هزینه متعارف به‌صورت زیر درمی‌آید:
$$
\begin{aligned}
NC^*{t+1} = & \left[ \frac{N}{40} 50\% S(t+1) \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_0-t-1}E_{x_0+t+1} \right. \\
& \left. – \frac{AL(t) + NC_t}{{}_{1}E_{x_0+t}} + UAL(t+1) \right] \frac{1}{\ddot{a}_{x_0+t+1:\overline{60-x_0-t-1}|}}
\end{aligned}
$$
یا
$$
\begin{aligned}
NC_{t+1}^* &= \left[ \frac{N}{40} 50\% S(t+1) a_{60} \cdot {}_{60-x_0-t-1}E_{x_0+t+1}\\
– \frac{AL(t) + NC_t}{{}_1E_{x_0+t}} \right] \frac{1}{\ddot{a}_{x_0+t+1:\overline{60-x_0-t-1}|}},
\end{aligned}
$$
که شبیه به فرمول بدون انحراف(12.6) است، با این تفاوت که بیمه عمر به شرط حیات محض (pure endowment) بین لحظات ${t}$ و ${t+1}$ دیگر در مبانی فنی محاسبه نمی‌شود، بلکه با استفاده از پارامترهای واقعی محاسبه می‌گردد.
رویکرد دیگر، استفاده از یک استهلاک صریح و تأمین مالی این کسری به صورت جداگانه است، که می‌تواند بلافاصله یا در طی یک دوره زمانی ثابت انجام شود.
در حالت یک استهلاک واحد، کل حق‌بیمه (مشارکت) که باید در زمان ${t+1}$ پرداخت شود، همانند روش اعتبار واحد (unit credit) به صورت زیر داده می‌شود:
$$
\begin{aligned}
C(t+1) & = NC_{t+1} + UAL(t+1) \\
& = NC_{t+1} + (AL(t) + NC_t) \left( \frac{1}{{}_1E_{x_0+t}} – \frac{1}{{}_1E_{x_0+t}^*} \right).
\end{aligned}
$$
۱۲.۳.۲ شکاف بدهی (Liability Gap)
اکنون حالتی را در نظر بگیریم که تفاوت بدهی ناشی از تغییر در مفروضات بیم‌سنجی در زمان ${t+1}$ باشد. در حالت استاندارد که در آن تمایل داریم یک هزینه متعارف هموار شده را در مبانی فنی جدید تعریف کنیم، کافی است که در فرمول 12.6، عناصر بیم‌سنجی را که مشمول بازنگری هستند، تعدیل کنیم:
$$
\begin{aligned}
NC_{t+1}^* = & \left[ \frac{N}{40} 50\% S(t+1) \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_0-t-1}E_{x_0+t+1}^* \right. \\
& \left. – \frac{AL(t) + NC_t}{{}_1E_{x_0+t}} \right] \frac{1}{\ddot{a}^*_{x_0+t+1:\overline{60-x_0-t-1}|}}.
\end{aligned}
$$
۱۲.۳.۳ اصلاح طرح (Scheme Modification)
همان منطق را می‌توان زمانی به کار برد که تفاوت بدهی ناشی از تغییر در مفروضات نباشد، بلکه ناشی از تغییری در طرح بازنشستگی باشد. برای مثال، در فرضیه‌ای که پیش‌تر با آن برخورد کردیم، جایی که مزایا از ۵۰ به ۶۰ درصد افزایش می‌یابد با اثر عطف‌به‌ماسبق (retroactive)، هزینه متعارف جدید به صورت زیر داده می‌شود:
$$
\begin{aligned}
NC^*_{t+1} = & \left[ \frac{N}{40} 60\% S(t+1) \ddot{a}_{60} \cdot {}_{60-x_0-t-1}E_{x_0+t+1} \right. \\
& \left. – \frac{AL(t) + NC_t}{{}_1E_{x_0+j}} \right] \frac{1}{\ddot{a}_{x_0+t+1:\overline{60-x_0-t-1}|}}.
\end{aligned}
$$
۱۲.۴ استهلاک در هزینه تجمعی (Amortization in Aggregate Cost)
مطالعه سود و زیان‌های بیم‌سنجی در روش هزینه تجمعی (aggregate cost method) شکل خاصی به خود می‌گیرد. به دلیل ساختار آن، این روش به صراحت تفاوت بین بدهی‌های بیم‌سنجی و ارزش دارایی‌ها را برجسته نمی‌کند. بنابراین، استهلاک بنا به تعریف همواره ضمنی (implicit) است.
در واقع، فرمول (11.3) برای محاسبه نرخ حق‌بیمه طرح، پیشاپیش بدهی‌ها (ارزش تنزیل شده مزایای آتی) و ارزش صندوق را با هم ترکیب می‌کند:
$$
\tau(t) = \frac{PVFB(t) – F(t)}{PVFS(t)}.
$$
چه شکاف‌های دارایی و چه شکاف‌های بدهی مطرح باشند، کاربرد روش هزینه تجمعی منجر به محاسبه کسری برای استهلاک آن‌طور که در دو روش دیگر دیدیم، نخواهد شد. این روش به سادگی منجر به محاسبه یک نرخ حق‌بیمه جدید می‌شود که این تغییرات محیطی را در نظر می‌گیرد. بنابراین می‌توان گفت که این روش بنا به تعریف، هرگونه تفاوت مشاهده شده در طول عمر طرح را به طور خودکار در دوره تأمین مالی باقیمانده مستهلک می‌کند. این موضوع بدیهتاً یک مزیت برای این روش محسوب می‌شود. اما همچنین یک خطر است، زیرا هرگز واقعاً خطاهای گذشته را اندازه‌گیری نمی‌کند، مگر از طریق تغییرات بزرگ در سطوح حق‌بیمه. این یکی از دلایلی است که چرا این روش گاهی در عمل رد می‌شود.
به طور خاص‌تر، اگر تفاوتی در دارایی‌ها بین زمان‌های ${t}$ و ${t+1}$ وجود داشته باشد، صندوق از یک سطح مورد انتظار ${F(t+1)}$ به یک سطح جدید ${F^*(t+1)}$ حرکت می‌کند (مثلاً به دلیل بازدهی متفاوت از آنچه انتظار می‌رفت).
در این حالت، نرخ حق‌بیمه‌ای که در ابتدا توسط رابطه زیر داده می‌شد:
$$
\tau(t+1) = \frac{PVFB(t+1) – F(t+1)}{PVFS(t+1)}
$$
تبدیل می‌شود به:
$$
\tau^*(t+1) = \frac{PVFB(t+1) – F^(t+1)}{PVFS(t+1)}.
$$
به همین ترتیب، در صورت وجود تفاوت در بدهی‌ها، چه ناشی از تغییر در مفروضات بیم‌سنجی باشد یا تغییر در طرح، نرخ حق‌بیمه به صورت زیر می‌شود:
$$
\tau^*(t+1) = \frac{PVFB^(t+1) – F(t+1)}{PVFS^*(t+1)},
$$
که در آن {$PVFB^(t+1)$} و {$PVFS^(t+1)$} با استفاده از مفروضات جدید محاسبه می‌شوند.
۱۲.۵ مدل استهلاک تصادفی (Stochastic Amortization Model)
۱۲.۵.۱ مقدمه
این بخش بر اساس مدل توسعه‌یافته توسط دوفرن [35] است. ما یک طرح بازنشستگی با مزایای معین (Defined Benefit) و اندوخته‌گذاری کامل انفرادی را در نظر می‌گیریم. بنابراین هزینه متعارف {$NC$} و بدهی بیم‌سنجی {$AL$} برای هر عضو طرح بازنشستگی محاسبه می‌شوند. سپس ما مجموع کل را برای کل گروه جمع می‌زنیم. بنابراین می‌توانیم برای کل حق‌بیمه واقعی بنویسیم:
$$
C(t) = \sum_{x=\text{ind}} NC(x,t) + ADJ(t).
$$
برای تعیین مقدار تعدیل $ADJ$ در اینجا از روش گسترده (spread method) استفاده خواهد شد، که عبارت است از محاسبه کل بدهی تأمین‌نشده (UAL) در هر سال و استهلاک آن در طی یک دوره معین، که در ادامه با M نشان داده می‌شود M یک عدد صحیح بزرگتر یا مساوی ۱ است). یکی از اهداف این بخش این است که ببینیم آیا انتخاب‌های بهتری برای این پارامتر M وجود دارد یا خیر. به عبارت دیگر، آیا استهلاک کسری‌ها در طی یک دوره زمانی طولانی‌تر یا کوتاه‌تر جالب است؟
بر اساس روش گسترده، داریم:
$$
ADJ(t) = \frac{1}{\ddot{a}_{\overline{M}|}} \cdot UAL(t) = \frac{1}{\ddot{a}_{\overline{M}|}} \cdot (AL(t) – F(t)),
$$
که در آن
$$
F(t) = \text{value of the fund (assets)},
$$
(ارزش صندوق یا دارایی‌ها)
$$
AL(t) = \sum_{x=\text{ind}} AL(t,x).
$$
سپس می‌توان رابطه‌ای نوشت که صندوق را به حق‌بیمه‌ها متصل می‌کند، که یک رابطه «بازخورد» (feedback) منفی را تشکیل می‌دهد:
$$
\begin{aligned}
C(t) &= \sum_{x=\text{ind}} NC(x,t) + \frac{1}{\ddot{a}_{\overline{M}|}}(AL(t) – F(t)) \\ &= \sum_{x=\text{ind}} NC(x,t) + k \cdot (AL(t) – F(t)),
\end{aligned} \tag{12.7}
$$
با
$$
k = \frac{1}{\ddot{a}_{\overline{M}|}} = \text{amortization factor}.
$$
(عامل استهلاک).
در ادامه ما کمیت‌های $F$ و $C$ را توسط فرآیندهای تصادفی مدل‌سازی خواهیم کرد که تنها منبع تصادفی بودن آن‌ها در نرخ‌های بازده دارایی‌ها نهفته است.
۱۲.۵.۲ مدل تصادفی برای ارزش صندوق (Stochastic Model for the Fund Value)
ما از یک مدل سرمایه‌گذاری تصادفی استفاده می‌کنیم و به تأثیر آن بر تحول صندوق و حق‌بیمه‌ها، که توسط معادله (12.7) به هم مرتبط شده‌اند، نگاه می‌کنیم. از سوی دیگر، ایستایی (stationarity) تمام پدیده‌های دیگر (جمعیت‌شناسی، تورم و غیره) فرض خواهد شد. مدل توسعه‌یافته در اینجا بر اساس هشت فرض زیر است:
(A1) تمام مفروضات بیم‌سنجیِ پیشینی (ex ante) به صورت پسینی (ex post) محقق می‌شوند، به جز نرخ بهره.
(A2) جمعیت وابسته به طرح، ایستا (stationary) است.
(A3) ما با مقادیر تعدیل‌شده (deflated) کار می‌کنیم. بنابراین تورم را نادیده می‌گیریم و نرخ‌های بهره مورد استفاده در واقع نرخ‌های بهره واقعی هستند. فرض می‌شود مستمری‌ها همانند دستمزدها شاخص‌بندی می‌شوند.
(A4) برای ارزیابی بیم‌سنجیِ پیشینی، یک نرخ بهره ثابت (نرخ تنزیل) استفاده می‌شود که در زیر با {$i$} نشان داده شده است.
(A5) نرخ بازده واقعی برای دوره‌ی ${(t, t+1)}$ یک متغیر تصادفی است که با ${i(t+1)}$ نشان داده می‌شود. بنابراین بازده‌ها یک سری از متغیرهای تصادفی هستند.
(A6) تمام این نرخ‌ها دارای میانگین یکسانی هستند: ${E(i(t)) = i^*}$. وقتی ${i = i^*}$ باشد، گفته می‌شود ارزیابی بیم‌سنجی در میانگین صحیح است.
(A7) فرض می‌شود حق‌بیمه‌ها و مزایا به صورت سالانه و در ابتدای دوره (in advance) پرداخت می‌شوند. ارزیابی‌ها به صورت سالانه انجام می‌شوند (مدل زمان گسسته).
(A8) ارزش اولیه موجودِ صندوق معلوم است و با مقدار مثبت ${F(0) = F_0}$ داده می‌شود.
پیامد این مفروضات این است که کمیت‌های زیر در طول زمان ثابت هستند:
${
NC = \sum_{x} NC(x,t) = \text{total normal cost},
}$, هزینه متعارف کل
${
AL = \sum_{x} AL(t,x) = \text{total actuarial liability},
}$, بدهی بیم‌سنجی کل
${
B = \sum_{x} B(x,t) = \text{total paid benefits},
}$, مجموع مزایای پرداخت‌شده
${
S = \sum_{x} S(x,t) = \text{total salaries}.
}$,مجموع حقوق‌ها.
از سوی دیگر، یک رابطه اتحاد را می‌توان بین این کمیت‌ها به دست آورد. به طور کلی، ما رابطه بازگشتی زیر را برای بدهی‌های بیم‌سنجی داریم (رابطه بازگشتی اساسی ذخیره آینده‌نگر):
$$
AL(t+1) = (1+i) \cdot (AL(t) + NC(t) – B(t)).
$$
با ثابت ماندن این عناصر در این مدل، داریم:
$$
AL = (1+i) \cdot (AL + NC – B).
$$
به طور خاص، رابطه زیر که مزایا را به حق‌بیمه‌ها و هزینه بهره روی بدهی‌ها مرتبط می‌کند، قابل استخراج است:
$$
B = NC + \frac{i}{(1+i)}AL. \tag{12.8}
$$
روابط مشابهی را می‌توان برای سمت دارایی به دست آورد:
$$
F(t+1) = (1+i(t+1)) \cdot (F(t) + C(t) – B). \tag{12.9}
$$
حق‌بیمه‌ها که توسط رابطه بازخورد ناشی از (12.7) تعریف شده‌اند، برابرند با:
$$
C(t) = NC + k \cdot (AL – F(t)).
$$
به منظور مطالعه رفتار فرآیندهای صندوق ${F}$ و حق‌بیمه ${C}$ (شامل امیدهای ریاضی و پراکندگی‌های آن‌ها)، باید مدلی برای فرآیند نرخ بازده ${i(t)}$ انتخاب شود. در اینجا ما دو فرض زیر را در مورد این فرآیند اضافه خواهیم کرد:
(A9) متغیرهای تصادفی ${i(t)}$ فرض می‌شود که مستقل و دارای توزیع یکسان (identically distributed) باشند.
(A10) دو گشتاور اول این نرخ‌ها وجود دارند و به صورت زیر داده می‌شوند:
$$
\begin{aligned}
E(i(t)) &= i^* = i, \\
\text{Var}(i(t)) &= \sigma^2.
\end{aligned}
$$
۱۲.۵.۳ رفتار مجانبی ارزش صندوق و حق‌بیمه‌ها (Asymptotic Behavior of the Fund Value and the Contributions)
هدف ما در این بخش، با توجه به مفروضات (A1) تا (A10)، به دست آوردن مقادیر مجانبی امیدهای ریاضی و واریانس‌های صندوق و حق‌بیمه‌ها است (در صورت وجود):
$$
\begin{aligned}
EF(\infty) &= \lim_{t \to \infty} E(F(t)), & EC(\infty) &= \lim_{t \to \infty} E(C(t)), \\
\text{Var}F(\infty) &= \lim_{t \to \infty} \text{Var}(F(t)), & \text{Var}C(\infty) &= \lim_{t \to \infty} \text{Var}(C(t)).
\end{aligned}
$$
این به ما اجازه می‌دهد تا ببینیم آیا صندوق بازنشستگی زمانی که طرح به بلوغ می‌رسد، همگرا می‌شود یا خیر.
۱۲.۵.۳.۱ گشتاورهای مرتبه اول (First Order Moments)
بیایید ابتدا امید ریاضی صندوق را برای یک زمان محدود محاسبه کنیم. با توجه به (12.9)، داریم:
$$
\begin{aligned}
F(t+1) &= (1+i(t+1)) \cdot (F(t) + C(t) – B) \\
&= (1+i(t+1)) \cdot ((1-k)F(t) + NC – B + k \cdot AL).
\end{aligned}
$$
که می‌تواند به صورت بازگشتی به شکل زیر نوشته شود:
$$
F(t+1) = w(t+1)[q \cdot F(t) + u],
$$
که در آن
$$
\begin{aligned}
w(t+1) &= \frac{1+i(t+1)}{1+i} \\
q &= (1+i) \cdot (1-k) \\
u &= (1+i) \cdot (NC – B + k \cdot AL).
\end{aligned}
$$
با در نظر گرفتن فرض (A9) مبنی بر استقلال نرخ‌های بازده و فرض (A10)، امید ریاضی آنگاه راه‌حل طرح بازگشتی زیر است:
$$
EF(t+1) = q \cdot EF(t) + u, \tag{12.10}
$$
که راه‌حل آن به صورت زیر داده می‌شود:
$$
EF(t) = q^t F_0 + u \frac{1-q^t}{1-q}. \tag{12.11}
$$
تا آنجا که به حق‌بیمه‌ها مربوط می‌شود، ما از (12.7) می‌دانیم که:
$$
C(t) = NC + k \cdot (AL – F(t))
$$
و بنابراین
$$
EC(t) = NC + k \cdot (AL – EF(t))
$$
یا به صورت صریح:
$$
EC(t) = NC + k \cdot \left( AL – \left( F(0) \cdot q^t + u \frac{1-q^t}{1-q} \right) \right). \tag{12.12}
$$
ما سپس ویژگی مجانبی زیر را به دست می‌آوریم که به ما می‌گوید فارغ از مقدار اولیه آن‌ها، فرآیندهای صندوق و حق‌بیمه به سمت مبنای بیم‌سنجی خود همگرا می‌شوند.
گزاره ۱۲.۱ اگر ${0 < q < 1}$، آنگاه
$$
\begin{aligned}
\lim_{t \to \infty} EF(t) &= AL, \\
\lim_{t \to \infty} EC(t) &= NC.
\end{aligned}
$$
اثبات. اگر ${0 < q < 1}$، رابطه (12.11) به ما اجازه می‌دهد که حد بگیریم:
$$
\lim_{t \to \infty} EF(t) = \frac{u}{1-q}.
$$
بیایید این حد را با در نظر گرفتن رابطه (12.8) محاسبه کنیم، که می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:
$$
NC – B = -\frac{i}{1+i} \cdot AL
$$
و سپس به دست می‌آوریم:
$$
\begin{aligned}
\frac{u}{1-q} &= \frac{(1+i)(NC – B + k \cdot AL)}{1 – (1+i)(1-k)} \\
&= \frac{(1+i)}{1 – (1+i)(1-k)} \cdot \left( AL \frac{k(1+i) – i}{(1+i)} \right) \\
&= AL.
\end{aligned}
$$
رابطه حق‌بیمه سپس مستقیماً از (12.12) پیروی می‌کند. ◻
تذکر ۱۲.۱ شرط ${0 < q < 1}$ در عمل چه معنایی دارد؟ این عدد ${q}$ به صورت صریح توسط رابطه زیر داده می‌شود:
$$
\begin{aligned}
q &= (1+i)(1-k) = (1+i) \left( 1 – \frac{1}{\ddot{a}_{\overline{M}|}} \right) \\ &= \frac{(\ddot{a}{\overline{M}|} – 1)(1+i)}{\ddot{a}_{\overline{M}|}} \\ &= \frac{\ddot{a}_{\overline{M-1}|}}{\ddot{a}_{\overline{M}|}} \quad (\text{for } M > 1).
\end{aligned}
$$
برای یک نرخ ارزیابی ${i > 0}$، این نسبت به گونه‌ای است که
$$
0 < \frac{\ddot{a}{\overline{M-1}|}}{\ddot{a}{\overline{M}|}} < 1.
$$
بنابراین ما نتیجه فرعی زیر را به دست می‌آوریم، که یک شرط کافی برای همگرایی مجانبی است.
نتیجه ۱۲.۱ اگر دوره استهلاک اکیداً بزرگتر از ۱ باشد (یعنی ${M > 1}$) و اگر نرخ ارزیابی (که همچنین میانگین بازده دارایی‌ها است) اکیداً مثبت باشد (${i > 0}$)، امید ریاضی صندوق به صورت مجانبی به سمت بدهی بیم‌سنجی میل می‌کند.
تذکر ۱۲.۲ بیایید با جزئیات به حالتی نگاه کنیم که در آن ${M = 1}$ است (یعنی استهلاک فوری هرگونه کسری یا مازاد شناسایی شده). در این صورت ما ${k = 1}$ و ${q = 0}$ را داریم. رابطه (12.11) سپس تبدیل می‌شود به:
$$
\begin{aligned}
EF(t) &= u \\
&= (1+i)(NC – B + AL) \\
&= (1+i) \left( NC – \left( NC + \frac{i}{1+i}AL \right) + AL \right) \\
&= AL.
\end{aligned}
$$
در این حالت، امید ریاضی صندوق در هر زمان متناهی ${t > 0}$ به سطح مجانبی خود ${AL}$ می‌رسد.
تذکر ۱۲.۳ فرض برابری بین نرخ ارزیابی بیم‌سنجی ${i}$ و نرخ بازده میانگین دارایی‌ها ${i^*}$ (نگاه کنید به فرض (A10)) به وضوح نقش اصلی را در این نتایج متفاوت بازی می‌کند. بیایید بررسی کنیم وقتی این دو نرخ متفاوت باشند چه اتفاقی می‌افتد. رابطه (12.10) سپس تبدیل می‌شود به
$$
\begin{aligned}
EF(t+1) &= \frac{1+i^*}{1+i} \cdot (q \cdot EF(t) + u) \\
&= q^* \cdot EF(t) + u^*,
\end{aligned}
$$
که در آن
$$
q^* = q \frac{1+i^*}{1+i} \quad \text{and} \quad u^* = u \cdot \frac{1+i^*}{1+i}.
$$
در نتیجه، اگر ${q^* < 1}$، ما یک همگرایی مجانبی داریم به
$$
\begin{aligned}
EF(\infty) &= \frac{u^*}{1 – q^*} = \frac{u}{1 – (1+i^*)(1-k)} \cdot \frac{1+i^*}{1+i} \\
&= AL \cdot \frac{1+i^*}{1+i} \cdot \frac{k(1+i) – i}{k(1+i^*) – i^*} \\
&= AL \cdot f\left(i, i^*\right).
\end{aligned}
$$
سطح تعادل ${AL}$ بنابراین توسط تابعی از ${i}$ و ${i^*}$ دچار اختلال می‌شود که ویژگی‌های زیر را برآورده می‌کند:
- ${f(i, i) = 1}$،
- ${f(i, i^*) > 1}$ زمانی که ${i^* > i}$ و ${f(i, i^*) < 1}$ زمانی که ${i^* < i}$.
این نتیجه‌ای فرعی از رشد تابع متغیر حقیقی زیر است:
$$
h(x) = \frac{1+x}{(k(1+x) – x)},
$$
که مشتق اول آن به صورت زیر داده می‌شود
$$
h'(x) = \frac{1}{(k(1+x) – x)^2} > 0.
$$
تحت شرایط همگرایی (${q^* < 1}$)، می‌توانیم منطقاً استنتاج کنیم که وقتی نرخ بیم‌سنجی پایین‌تر از نرخ بازده دارایی‌ها است (یعنی زمانی که عملکرد دارایی‌ها بهتر از حد انتظار است)، امید ریاضی صندوق به سمت سطحی بالاتر از بدهی‌های بیم‌سنجی همگرا می‌شود (و برعکس).
۱۲.۵.۳.۲ گشتاورهای مرتبه دوم (Second Order Moments)
بیایید اکنون پراکندگی‌های صندوق و حق‌بیمه‌ها را حول مقدار میانگین آن‌ها که در بالا محاسبه شد، محاسبه کنیم. در سراسر این زیربخش فرض بر این است که ${i = i^*}$.
گزاره ۱۲.۲ واریانس صندوق در رابطه بازگشتی زیر صدق می‌کند
$$
\text{Var}F(t+1) = a\text{Var}F(t) + b(EF(t+1))^2, \tag{12.13}
$$
که در آن
$$
\begin{aligned}
a &= (1-k)^2 \left( (1+i)^2 + \sigma^2 \right) = (1-k)^2 y^2, \\
b &= \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}.
\end{aligned}
$$
به طور خاص، ما واریانس صندوق و حق‌بیمه‌ها را به صورت صریح به دست می‌آوریم:
$$
\begin{aligned}
\text{Var}F(t) &= b \cdot \sum_{j=1}^{t} a^{t-j} (EF(j))^2, \\
\text{Var}C(t) &= k^2 \cdot \text{Var}F(t).
\end{aligned}
\tag{12.14}
$$
اثبات. ما از رابطه بازگشتی صندوق شروع می‌کنیم:
$$
F(t+1) = w(t+1)[qF(t) + r].
$$
با توجه به فرض استقلال بازده‌های مالی سالانه، ما گشتاور مرتبه ۲ را به دست می‌آوریم (استقلال بین متغیرهای ${w(t+1)}$ و ${F(t)}$):
$$
E\left( F^2(t+1) \right) = E\left( w^2(t+1) \right) E\left( (qF(t) + r)^2 \right).
$$
از سوی دیگر
$$
\begin{aligned}
E\left( w^2(t+1) \right) &= \frac{1}{(1+i)^2} E\left( (1+i(t+1))^2 \right) \\&= \frac{1}{(1+i)^2} \left( (1+i)^2 + \sigma^2 \right) \\
&= 1 + \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}.
\end{aligned}
$$
و بنا بر رابطه (12.10)
$$
\begin{aligned}
E\left( (qF(t) + r)^2 \right) &= E\left( \left( (q(F(t) – EF(t)) + (qEF(t) + r) \right)^2 \right) \\
&= q^2 \text{Var}F(t) + (EF(t+1))^2.
\end{aligned}
$$
بنابراین داریم:
$$
\mathrm{E}\left(F^2(t+1)\right) = \left(1 + \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}\right) \cdot \left(q^2 \cdot \mathrm{Var}F(t) + (\mathrm{E}F(t+1))^2\right).
$$
در نهایت واریانس مطلوب به‌صورت زیر می‌شود:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{Var}F(t+1) &= \mathrm{E}\left(F^2(t+1)\right) – (\mathrm{E}F(t+1))^2 \\
&= \left(1 + \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}\right) \cdot q^2 \cdot \mathrm{Var}F(t) + \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}(\mathrm{E}F(t+1))^2 \\
&= a \cdot \mathrm{Var}F(t) + b \cdot (\mathrm{E}F(t+1))^2,
\end{aligned}
$$
که در آن:
$$
\begin{aligned}
b &= \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}
a &= q^2 \cdot \left(1 + \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}\right) \\
&= (1+i)^2(1-k)^2 \left(1 + \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}\right) \\
&= (1-k)^2 \left((1+i)^2 + \sigma^2\right).
\end{aligned}
$$
این رابطه (۱۲.۱۳) را اثبات می‌کند، که رابطه (۱۲.۱۴) نتیجه مستقیم آن است.
$\square$
این نتایج دوباره به ما اجازه می‌دهند تا مقادیر مجانبی را تحت شرایط خاصی روی پارامترها به دست آوریم.
گزاره ۱۲.۳ اگر ${ a < 1 }$، آنگاه واریانس‌های مجانبی صندوق و حق‌بیمه (مشارکت) وجود دارند و به‌صورت زیر داده می‌شوند:
$$
\begin{aligned}
\lim_{t \to \infty} \mathrm{Var}F(t) &= b \cdot \frac{(AL)^2}{1-a} \\
\lim_{t \to \infty} \mathrm{Var}C(t) &= b \cdot k^2 \cdot \frac{(AL)^2}{1-a}.
\end{aligned} \tag{12.15}
$$
اثبات این نتایج مستقیماً از رابطه (۱۲.۱۴) و از این واقعیت که ${ \mathrm{E}F(t) }$ به ${ AL }$ همگرا می‌شود، ناشی می‌شود.$\square$
نکته ۱۲.۴ شرط ${ a < 1 }$ در عمل به چه معناست؟ برای پاسخ به این سوال، بیایید این عدد ${ a }$ را محاسبه کنیم و شرط روی ${ a }$ را به شرطی روی ${ k }$ و بنابراین روی ${ M }$ (یعنی دوره استهلاک) تبدیل کنیم:
$$
a = (1-k)^2 \left((1+i)^2 + \sigma^2\right).
$$
بنابراین شرط ${ a < 1 }$ معادل است با:
$$
k > 1 – \frac{1}{\left((1+i)^2 + \sigma^2\right)^{1/2}}.
$$
با جایگزینی ${ k }$ بر اساس نرخ ${ i }$، به دست می‌آوریم:
$$
\frac{i}{(1-v^M)(1+i)} > 1 – \frac{1}{\left((1+i)^2 + \sigma^2\right)^{1/2}}.
$$
با جداسازی مقدار ${ M }$ داریم:
$$
M < M^* = \frac{1}{\ln(1+i)} \ln \left( \frac{(1+i)(1+b)^{0.5} – 1}{(1+b)^{0.5} – 1} \right), \tag{12.16}
$$
که در آن:
$$
b = \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}.
$$
برخلاف حالت امید ریاضی، که در آن شرط همگرایی روی ${ q }$ به صورت بدیهی برقرار بود (ر.ک. تذکر ۱۲.۱)، ما اکنون یک شرط واقعی روی پارامترها داریم. بدین ترتیب نتیجه زیر را به دست می‌آوریم، که به ما می‌گوید نباید در دوره‌ای بیش از حد طولانی مستهلک کرد (بنابراین نباید هزینه‌های گذشته را به آینده‌ای خیلی دور منتقل کرد) اگر نخواهیم پراکندگی انفجاری در فرآیندها داشته باشیم.
نتیجه ۱۲.۲ زمانی که نرخ ارزیابی اکیداً مثبت است و دوره استهلاک ${ M }$ کمتر از مقدار حد ${ M^* }$ تعریف‌شده در معادله (۱۲.۱۶) باشد، آنگاه صندوق و مشارکت‌ها واریانس‌های مجانبی متناهی دارند.
جدول ۱۲.۱ مقدار حد ${ M^* }$ را برای ترکیبات مختلف نرخ میانگین و نوسان‌پذیری آن نشان می‌دهد.
| ${ i = 1\% }$ | ${ i = 5\% }$ | |
|---|---|---|
| ${ \sigma = 5\% }$ | 223 | 78 |
| ${ \sigma = 15\% }$ | 66 | 37 |
| ${ \sigma = 20\% }$ | 42 | 28 |
12.5.4 دوره استهلاک بهینه
ما به‌تازگی یک مقدار حد بالای بالا برای دوره استهلاک ${ M }$ به‌دست آورده‌ایم، مشروط بر آنکه از انفجار پراکندگی جلوگیری شود. با این حال، پایین‌تر از این حد، آیا انتخاب‌های بهتری از نظر استهلاک نسبت به انتخاب‌های دیگر وجود دارد؟ آیا می‌توان یک دوره استهلاک بهینه را بر اساس معیاری که باید تعریف شود، تعیین کرد؟
یکی از معیارهایی که به‌طور طبیعی به ذهن می‌رسد این است که به‌طور هم‌زمان تغییرپذیری مجانبی هر دو، یعنی صندوق (به نفع ذی‌نفعان) و حق‌بیمه‌ها (به نفع حامی صندوق)، حداقل شود.
بیایید مقادیر حدی واریانس صندوق و حق‌بیمه‌ها را به‌عنوان تابعی از پارامتر استهلاک ${ k }$ (و در نتیجه به‌طور غیرمستقیم به‌عنوان تابعی از دوره استهلاک ${ M }$) مطالعه کنیم. با در نظر گرفتن رابطه (12.15)، برای واریانس صندوق داریم:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{Var}F(\infty) &= b \cdot \frac{AL^2}{1-a}
\\&= \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}(AL)^2 f(k),
\end{aligned}
$$
که در آن:
$$
f(k) = \frac{1}{(1-(1-k)^2 \cdot ((1+i)^2+\sigma^2))}
= \frac{1}{(1-(1-k)^2 y^2)},
$$
و
$$
y^2 = (1+i)^2 + \sigma^2.
$$
توجه کنید که شرط مرزی مشاهده‌شده در نکته 12.1 را مجدداً به‌دست می‌آوریم. در واقع، برای آنکه این واریانس متناهی و مثبت باشد، لازم است ${ f(k) }$ مثبت باشد، یعنی:
$$
k > 1 – \frac{1}{y},
$$
که همان شرط حدی به‌دست‌آمده برای ${ k }$ است.
به‌طور مشابه، برای حق‌بیمه‌ها داریم:
$$
\begin{aligned}
\mathrm{Var}C(\infty) &= b \cdot k^2 \cdot \frac{AL^2}{1-a}\\&
= \frac{\sigma^2}{(1+i)^2}(AL)^2 g(k),
\end{aligned}
$$
که در آن:
$$
g(k) = \frac{k^2}{(1-(1-k)^2 y^2)}.
$$
بنابراین لازم است رفتار توابع ${ f }$ و ${ g }$ را به‌عنوان تابعی از ${ k }$ (و در نتیجه ${ M }$) بررسی کنیم. ابتدا، برای واریانس صندوق، ویژگی زیر برقرار است.
گزاره 12.4 واریانس مجانبی صندوق تابعی صعودی از دوره استهلاک است.
اثبات از آنجا که تابع ${ k }$ تابعی نزولی از ${ M }$ است، کافی است نشان دهیم که تابع ${ f(k) }$ تابعی کاهشی از ${ k }$ است. برای این منظور، مشتق اول آن را محاسبه می‌کنیم که منفی است (زیرا ${ k < 1 }$):
$$
f'(k) = \frac{-2(1-k)y^2}{(1-(1-k)^2 y^2)^2} < 0.
$$
$\square$
وضعیت برای حق‌بیمه‌ها تا حدی متفاوت است، زیرا برخلاف تابع ${ f(k) }$، تابع ${ g(k) }$ یکنواخت نیست. در واقع، ویژگی زیر برقرار است.
گزاره 12.5 واریانس مجانبی حق‌بیمه‌ها ابتدا برای ${ M < M^{**} }$ تابعی کاهشی از ${ M }$ است و سپس برای ${ M > M^{**} }$ به تابعی صعودی از ${ M }$ تبدیل می‌شود. مقدار ${ M^{**} }$ به‌صورت زیر داده می‌شود:
$$ M^{**} = -\frac{1}{\ln(1+i)} \ln\left(\frac{v y^2 – 1}{y^2 – 1}\right), $$ که در آن ${ v = \frac{1}{1+i} }$ است.
اثبات اکنون رفتار تابع ${ g(k) }$ را تحلیل می‌کنیم. با محاسبه مشتق، به‌دست می‌آوریم:
$$ g'(k) = \frac{(1-(1-k)^2 y^2)\cdot 2k – k^2 \cdot 2(1-k)y^2} {(1-(1-k)^2 y^2)^2} $$ $$ = \frac{2k y^2 (k – (1 – 1/y^2))} {(1-(1-k)^2 y^2)^2} = \frac{2k y^2}{(1-(1-k)^2 y^2)^2} h(k). $$
در نتیجه، تابع خطی ${ h(k) }$ علامت خود را برای مقدار ${ k^* }$ که به‌صورت زیر داده می‌شود تغییر می‌دهد: $$ k^* = 1 – \frac{1}{y^2}. $$
مشتق برای ${k > k^*}$ مثبت (تابع صعودی) و برای ${k < k^*}$ منفی (تابع نزولی) است. برای ${k = k^*}$، ما دارای یک مقدار حداقل برای واریانس هستیم. بنابراین، نتیجه هنگام حرکت به سمت متغیر ${M}$ نیز یکسان است. مقدار حد ${M^{**}}$ که متناظر با مقدار ${k^*}$ است، می‌تواند به سادگی با حل معادله زیر تعیین شود:
$$
\frac{1}{\ddot{a}_{\overline{M^{**}|}}} = 1 – 1/y^2.
$$
این معادله بر حسب ${M}$ می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:
$$
\frac{1}{\ddot{a}_{\overline{M}|}} = \left( (1+i)\frac{1-v^M}{i} \right)^{-1} = \beta,
$$
که راه‌حل آن عبارت است از:
$$
M = \frac{1}{\ln v} \ln \left( 1 – \frac{i}{\beta(1+i)} \right).
$$
با جایگذاری مقدار ${\beta}$، ما در نهایت به دست می‌آوریم:
$$
\begin{aligned}
M^{**} &= -\frac{1}{\ln(1+i)} \ln \left( 1 – \frac{iv}{(1 – 1/y^2)} \right) \\
&= -\frac{1}{\ln(1+i)} \ln \left( \frac{vy – 1}{y – 1} \right).
\end{aligned}
$$
گزاره‌های ۱۲.۴ و ۱۲.۵ با هم به ما اجازه می‌دهند تا یک ناحیه بهینگی برای پارامتر ${M}$ تعریف کنیم.
نتیجه ۱۲.۳
دوره استهلاک بهینه در بازه ${1 \le M \le M^{**}}$ قرار دارد.
اثبات
در این بازه، ما در ناحیه‌ای هستیم که اگر ${M}$ را افزایش دهیم، به‌طور هم‌زمان با افزایش در واریانس صندوق (عیب!) اما کاهش در واریانس مشارکت‌ها (مزیت) مواجه می‌شویم. از سوی دیگر، در سمت راست ${M^{**}}$، هر دو واریانس صعودی می‌شوند و دیگر هیچ منفعتی در افزایش دوره استهلاک وجود ندارد. $\square$
جدول ۱۲.۲ مقادیر ${M^{**}}$ را برای ترکیبات مختلفی از نرخ متوسط و نوسان‌پذیری (volatility) آن نشان می‌دهد. در عمل، بسیاری از صندوق‌های بازنشستگی از یک دوره استهلاک بین ۱۰ تا ۱۵ سال استفاده می‌کنند، که به نظر می‌رسد با این مقادیر سازگار باشد.
| ${i = 1\%}$ | ${i = 5\%}$ | |
|---|---|---|
| ${\sigma = 5\%}$ | 60 | 14 |
| ${\sigma = 15\%}$ | 28 | 11 |
| ${\sigma = 20\%}$ | 19 | 10 |
نکته ۱۲.۵ بیایید بررسی کنیم که کران بهینه ${M^{*}}$ پایین‌تر از حداکثر ${M^*}$ است که قبلاً تعریف شده است. برای انجام این کار، کافی است بررسی کنیم که مقادیر ${k}$ متناظر با این دو مقدار ${M}$ در ترتیب معکوس قرار دارند، یعنی ${k^* > k}$. در واقع ما داریم:
$$
k^* = 1 – 1/y^2 > k = 1 – 1/y,
$$
زیرا:
$$
y^2 = (1+i)^2 + \sigma^2 > 1.
$$